Impedance transformation along transmission line length
โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)
คราวที่แล้วเราได้รู้เรื่องของ ทฤษฎีสายนำสัญญาณ กันไปแล้ว ซึ่งเป็นส่วนที่ผมคัดแบบเนื้อๆ มาให้เพื่อนๆ อ่านกันเลยทีเดียว (เนื้อหาที่จริงมีอีกมากมาย แต่อาจจะเกินเลยไปจากสิ่งที่นักวิทยุสมัครเล่นอย่างพวกเราจำเป็นต้องรู้และนำไปใช้งาน) ซึ่งเราจะสรุปได้คร่าวๆ ว่า
ตัวอย่างที่ 1
เราต่อสายอากาศที่มีอิมพิแดนซ์ 25 + j0 Ω เข้ากับปลายสายนำสัญญาณที่มีความต้านทานจำเพาะ Z0 เป็น 50 Ω (ตามรูปที่ 1) ทำให้เกิดการไม่แมทช์ และสามารถคำนวณ สัมประสิทธิการสะท้อนได้เป็น -1/3 + j0 (สัมประสิทธิการสะท้อนไม่มีหน่วย) ในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate) หรือเขียนเป็นพิกัดวงกลม (polar coordinate) ได้เป็น 1/3 ∟180ᴼ นั่นคือขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อนคือ 1/3 และมีมุมที่ 180ᴼ และสามารถคำนวณหาค่าของ VSWR ได้เป็น 2:1 (ดูรูปที่ 2) ซึ่งถ้าสามารถนำสัญญาณนี้เป็นแบบไม่มีการสูญเสีย ค่าของ VSWR จะเท่ากับ 2:1 นี้ไปตลอดความยาวสาย ไม่ว่าจะตัดสายที่ความยาวเท่าใด
คราวนี้มาดูว่า ที่ระยะห่างจากด้านที่ต่อโหลดหรือสายอากาศออกมา λ/6 (ก็คือ ตัดสายนำสัญญาณให้ยาวเท่ากับ 1/6 เท่าของความยาวคลื่นทางไฟฟ้า คือคิดตัวคูณความเร็วด้วย) จะเห็นว่าเราสามารถคำนวณอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายด้านที่ตัดนั้นได้เป็น Z(l = λ/6) และได้ออกมาเป็น 57.1 + j 37.115 Ω ตามตัวอย่างการคำนวณในรูปที่ 3 ซึ่งจะเห็นว่าสูตรประกอบไปด้วย tangent ที่เป็นฟังก์ชั่นตรีโกณ และบังคับให้มีความเป็นตัวเลขแบบเชิงซ้อน (มี j อยู่ในสมการ) ทำให้แม้ว่าความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณเป็นจำนวนจริง (ส่วน j เป็น 0) และความต้านทานของโหลดเป็นจำนวนจริง (คือ รีโซแนนซ์ และมีส่วนของ j เป็น 0) เช่นในตัวอย่างนี้ ก็ยังได้อิมพิแดนซ์ที่ปลายสายเป็นจำนวนเชิงซ้อน (คือมีความเป็นตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำปนอยุ่) ได้ ตามตัวอย่าง มีส่วนของรีแอคแตนซ์ + j 37.115 Ω ผสมอยู่ด้วย คือมีความเป็นอินดัคแตนซ์หรือค่าของคอล์ย (L) ปนอยู่ด้วย
ภาพที่ 4 แสดงถึงการหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณตามตัวอย่างในภาพที่ 1 อีกวิธีหนึ่ง โดยหลักการที่เราทราบว่าที่ระยะห่างออกมาจากโหลดต่างกัน จะทำให้สัมประสิทธิการสะท้อนเปลี่ยนไป คือมีขนาดเท่าเดิม (ในกรณีสายนำสัญญาณแบบไม่มีการสูญเสียนี้) แต่มุมของสัมประสิทธิการสะท้อนจะเปลี่ยนไป (หมุนตามเข็มนาฬิกา 180ᴼ ต่อ 1/4 λ) ซึ่งในตัวอย่างจุดสังเกตจะห่างออกมา 1/6 λ หรือเทียบได้กับ 120ᴼ ทำให้เราสามารถ ทำให้เราคำนวณมุมเฟสที่เคยมีค่าเป็น 1/3 มุม 180ᴼ ณ ตำแหน่งโหลด กลายเป็น 1/3 มุม 60ᴼ ในพิกัดวงกลม ซึ่งคือ 0.1666 + j 0.2886 Ω ในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate) และสามารถคำนวณหาอิมพิแดนซ์ ณ ตำแหน่งห่างออกมาจากโหลดเป็นระยะทาง 1/6λ ได้เป็น 57.1 + j 37.115 Ω เท่ากันกับวิธีในภาพที่ 3 นั่นเอง
ตัวอย่างที่ 2
คราวนี้มาดูกรณีที่ง่ายกว่าคือ เราต่อโหลดที่มีอิมพิแดนซ์แมทช์กับความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณคือ 50 Ω เท่ากัน ทำให้คำนวณสัมประสิทธิการสะท้อนที่จุดต่อเชื่อมได้เป็น 0 + j 0 ในพิกัดสี่เหลี่ยม หรือคือ 0 ∟0ᴼ (ขนาด 0 มุม 0 องศา) ในพิกัดทรงกลม และคำนวณ VSWR ได้เป็น 1:1 และเนื่องจากว่าไม่ว่าระยะห่างจากโหลดออกมาเป็นระยะทางเท่าใดก็ตาม ค่า Γ(l) ในพิกัดสี่เหลี่ยมจะเป็น 0 + j 0 เสมอ ทำให้สามารถคำนวณค่าของ Z(l) ได้เป็น 50 Ω เสมอไม่ว่าที่ระยะทางเท่าใดจากโหลดก็ตาม (ดูภาพที่ 5)
เป็นอย่างไรบ้างครับเพื่อนๆ อย่างน้อยเราก็จะทราบแล้วว่า ทุกอย่างที่เราเห็นนั้นมีที่มาที่ไปและสามารถคำนวณได้ทั้งหมด ซึ่งแม้แต่กับวิศวกรที่ชำนาญด้านการคำนวณก็ยังออกแนวขี้เกียจ ดังนั้นเราจึงมี "ตัวช่วย" ที่ทำให้สามารถคำนวณค่าต่างๆ ได้ง่ายขึ้นและทำให้ชีวิตมีความสุขขึ้น ส่วนจะเป็นอะไรนั้น รอดูบทความคราวหน้ากันเลยครับ
- เมื่อต่อโหลด (หรือสายอากาศ) ที่มีอิมพิแดนซ์ไม่เท่ากับความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณ จะทำให้เกิดการสะท้อน โดยมีสัมประสิทธิการสะท้อนเกิดขึ้น ณ จุดที่ต่อเชื่อมนั้น (ปลายด้านโหลด) ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้ทั้งในพิกัดสี่เหลี่ยม (Г = Гre + j Гim) และพิกัดทรงกลม (ІГІ∟มุม โดย ІГІ เป็นขนาดของ Г และหาได้จาก ІГІ = (Гre2 + Гim2)1/2 และ ІГІ มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 คือไม่มีการสะท้อนเลยคือแมทช์ที่สุด ไปถึง 1 คือสะท้อนกลับหมดเมื่อไม่แมทช์ที่สุด เช่น ปลายสายเปิดวงจร (1∟180°) หรือลัดวงจร (1∟0°)
- ถ้าโหลด (หรือสายอากาศ) มีอิมพิแดนซ์เท่ากับความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณ จะไม่มีการสะท้อนกลับเกิดขึ้น ทำให้สัมประสิทธิการสะท้อนเป็นศูนย์
- แต่หากมีการสะท้อนเกิดขึ้น ก็จะมีคลื่นนิ่งเกิดขึ้น และสามารถคำนวณหา VSWR ได้จาก "ขนาด" ของสัมประสิทธิการสะท้อนนั้น (เวลาหาค่า VSWR เอาแต่ขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อนมาคำนวณ มุมไม่ต้องเอามา)
- ในสายนำสัญญาณแบบไม่มีการสูญเสีย "ขนาด" ของสัมประสิทธิการสะท้อนจะคงที่ตลอดเส้นสายนำสัญญาณ (แต่มุมเปลี่ยน) แต่เนื่องจากVSWR ขึ้นอยู่กับขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อนเท่านั้น ค่าของ VSWR ณ จุดใดๆ ของสายนำสัญญาณแบบไม่มีการสูญเสียจะเท่ากันทั้งเส้น
- ค่าการสะท้อนจะเปลี่ยน "มุม" ไปเรื่อยๆ ตามระยะทางจากโหลด (หรือสายอากาศ) ที่ปลายด้านหนึ่งของสายนำสัญญาณ ดังนั้นจึงทำให้อิมพิแดนซ์ที่มองเข้าไปหาปลายสายที่มีโหลดหรือสายอากาศต่ออยู่เปลี่ยนไปตามความยาวของสายอากาศ
ตัวอย่างที่ 1
ภาพที่ 1 เมื่อต่อโหลดที่ไม่แมทช์เข้ากับสายนำสัญญาณ
เราต่อสายอากาศที่มีอิมพิแดนซ์ 25 + j0 Ω เข้ากับปลายสายนำสัญญาณที่มีความต้านทานจำเพาะ Z0 เป็น 50 Ω (ตามรูปที่ 1) ทำให้เกิดการไม่แมทช์ และสามารถคำนวณ สัมประสิทธิการสะท้อนได้เป็น -1/3 + j0 (สัมประสิทธิการสะท้อนไม่มีหน่วย) ในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate) หรือเขียนเป็นพิกัดวงกลม (polar coordinate) ได้เป็น 1/3 ∟180ᴼ นั่นคือขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อนคือ 1/3 และมีมุมที่ 180ᴼ และสามารถคำนวณหาค่าของ VSWR ได้เป็น 2:1 (ดูรูปที่ 2) ซึ่งถ้าสามารถนำสัญญาณนี้เป็นแบบไม่มีการสูญเสีย ค่าของ VSWR จะเท่ากับ 2:1 นี้ไปตลอดความยาวสาย ไม่ว่าจะตัดสายที่ความยาวเท่าใด
ภาพที่ 2 การคำนวณสัมประสิทธิการสะท้อน ΓL ที่ตำแหน่งโหลด (ระยะ l = 0)
คราวนี้มาดูว่า ที่ระยะห่างจากด้านที่ต่อโหลดหรือสายอากาศออกมา λ/6 (ก็คือ ตัดสายนำสัญญาณให้ยาวเท่ากับ 1/6 เท่าของความยาวคลื่นทางไฟฟ้า คือคิดตัวคูณความเร็วด้วย) จะเห็นว่าเราสามารถคำนวณอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายด้านที่ตัดนั้นได้เป็น Z(l = λ/6) และได้ออกมาเป็น 57.1 + j 37.115 Ω ตามตัวอย่างการคำนวณในรูปที่ 3 ซึ่งจะเห็นว่าสูตรประกอบไปด้วย tangent ที่เป็นฟังก์ชั่นตรีโกณ และบังคับให้มีความเป็นตัวเลขแบบเชิงซ้อน (มี j อยู่ในสมการ) ทำให้แม้ว่าความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณเป็นจำนวนจริง (ส่วน j เป็น 0) และความต้านทานของโหลดเป็นจำนวนจริง (คือ รีโซแนนซ์ และมีส่วนของ j เป็น 0) เช่นในตัวอย่างนี้ ก็ยังได้อิมพิแดนซ์ที่ปลายสายเป็นจำนวนเชิงซ้อน (คือมีความเป็นตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำปนอยุ่) ได้ ตามตัวอย่าง มีส่วนของรีแอคแตนซ์ + j 37.115 Ω ผสมอยู่ด้วย คือมีความเป็นอินดัคแตนซ์หรือค่าของคอล์ย (L) ปนอยู่ด้วย
ภาพที่ 3 การคำนวณอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ ห่างจากโหลด 1/6 λ
ภาพที่ 4 แสดงถึงการหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณตามตัวอย่างในภาพที่ 1 อีกวิธีหนึ่ง โดยหลักการที่เราทราบว่าที่ระยะห่างออกมาจากโหลดต่างกัน จะทำให้สัมประสิทธิการสะท้อนเปลี่ยนไป คือมีขนาดเท่าเดิม (ในกรณีสายนำสัญญาณแบบไม่มีการสูญเสียนี้) แต่มุมของสัมประสิทธิการสะท้อนจะเปลี่ยนไป (หมุนตามเข็มนาฬิกา 180ᴼ ต่อ 1/4 λ) ซึ่งในตัวอย่างจุดสังเกตจะห่างออกมา 1/6 λ หรือเทียบได้กับ 120ᴼ ทำให้เราสามารถ ทำให้เราคำนวณมุมเฟสที่เคยมีค่าเป็น 1/3 มุม 180ᴼ ณ ตำแหน่งโหลด กลายเป็น 1/3 มุม 60ᴼ ในพิกัดวงกลม ซึ่งคือ 0.1666 + j 0.2886 Ω ในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate) และสามารถคำนวณหาอิมพิแดนซ์ ณ ตำแหน่งห่างออกมาจากโหลดเป็นระยะทาง 1/6λ ได้เป็น 57.1 + j 37.115 Ω เท่ากันกับวิธีในภาพที่ 3 นั่นเอง
ภาพที่ 4 การหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณโดยคำนวณจาก
สัมประสิทธิการสะท้อนที่ตำแหน่งปลายสายนั้น
ตัวอย่างที่ 2
คราวนี้มาดูกรณีที่ง่ายกว่าคือ เราต่อโหลดที่มีอิมพิแดนซ์แมทช์กับความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณคือ 50 Ω เท่ากัน ทำให้คำนวณสัมประสิทธิการสะท้อนที่จุดต่อเชื่อมได้เป็น 0 + j 0 ในพิกัดสี่เหลี่ยม หรือคือ 0 ∟0ᴼ (ขนาด 0 มุม 0 องศา) ในพิกัดทรงกลม และคำนวณ VSWR ได้เป็น 1:1 และเนื่องจากว่าไม่ว่าระยะห่างจากโหลดออกมาเป็นระยะทางเท่าใดก็ตาม ค่า Γ(l) ในพิกัดสี่เหลี่ยมจะเป็น 0 + j 0 เสมอ ทำให้สามารถคำนวณค่าของ Z(l) ได้เป็น 50 Ω เสมอไม่ว่าที่ระยะทางเท่าใดจากโหลดก็ตาม (ดูภาพที่ 5)
ภาพที่ 5 สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อต่อโหลดที่แมทช์กับความต้านทานจำเพาะของสายนำสัญญาณ
เป็นอย่างไรบ้างครับเพื่อนๆ อย่างน้อยเราก็จะทราบแล้วว่า ทุกอย่างที่เราเห็นนั้นมีที่มาที่ไปและสามารถคำนวณได้ทั้งหมด ซึ่งแม้แต่กับวิศวกรที่ชำนาญด้านการคำนวณก็ยังออกแนวขี้เกียจ ดังนั้นเราจึงมี "ตัวช่วย" ที่ทำให้สามารถคำนวณค่าต่างๆ ได้ง่ายขึ้นและทำให้ชีวิตมีความสุขขึ้น ส่วนจะเป็นอะไรนั้น รอดูบทความคราวหน้ากันเลยครับ
©Jitrayut Chunnabhata, 2016.
This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is discouraged.
© 2016 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ
เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และหลีกเลี่ยงการคัดบอกเนื้อหาไปเผยแพร่ซ้ำโดยตรง
