เลือก Ferrite สำหรับทำ Common-Mode Choke อย่างไร

Understanding Ferrite Materials for Common-Mode Choke Design: Beyond Permeability

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)

---

Common-Mode Choke จัดอยู่ในอปกรณ์ประเภท Current Balun เป็นอุปกรณ์ง่ายๆ ที่มีหน้าที่สำคัญมาก นั่นคือทำให้กระแสโหมดร่วม (Common-Mode Current) บนสายป้อน เช่น coaxial cable ไหลได้ยากขึ้น โดยที่มาของชื่อ Current Balun นั้นมาจากคำสองคำคือ Balun ซึ่งหมายถึงอุปกรณ์ที่ใช้ต่อเชื่อมระหว่างระบบสมดุล (Balanced) และไม่สมดุล (Unbalanced) ส่วนคำว่า Current นั้นแปลว่ากระแส ซึ่งมีนัยยะบอกว่าบาลันชนิดนี้สามารถลดกระแสโหมดร่วม (Common Mode Current มักย่อว่า I_cm) ที่มักเกิดเมื่อเราต่อระบบสมดุลและไม่สมดุลเข้าด้วยกัน ได้   และสามารถถูกสร้างได้หลายรูปแบบ หนึ่งในนั้นคือใช้แกนเฟอร์ไร้ท์เข้าช่วย แต่มีคำถามสำคัญถึงการเลือกชนิด (Material หรือ Mix) ว่าจะใช้เฟอร์ไร้ท์ชนิดไหน ซึ่งบทความนี้จะพิจารณาเรื่องนี้เป็นหลัก 

กระแสโหมดร่วมและผลที่เกิดขึ้น  

ในระบบสายอากาศ หากมีกระแสโหมดร่วมไหลบนผิวด้านนอกของ shield ของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial cable) ก็อาจทำให้ผิวด้านนอกของ shield นั้นแพร่กระจายคลื่นและกลายเป็นส่วนหนึ่งของระบบสายอากาศไปด้วยโดยไม่ตั้งใจ  ทำให้เกิดปัญหา radiation pattern (รูปร่างการแพร่กระจายคลื่น) ผิดเพี้ยน, เกิด RFI/EMI (Radio Frequency Interference, Electromagnetic Interference) และอิมพีแดนซ์ที่จุดป้อนของสายอากาศที่เพี้ยนไปมาได้ 

รูปที่ 1 กระแสโหมดร่วม (I_cm) ที่ไหลอยู่ที่ผิว
ด้านนอกของสายนำสัญญาณ มีที่มาจากกำลัง
ไฟฟ้าที่เครื่องส่งจ่ายใหักับระบบสายอากาศ
 กำลังที่ออกอากาศจากสายอากาศจริงจึง
ลดลง และตัวสายนำสัญญาณจะแพร่กระจาย
คลื่นด้วย ซึ่งรบกวนคลื่นจากสายอากาศจริงๆ

นอกจากการใช้อุปกรณ์พิเศษเช่น Sleeve Balun หรือ Guanella Balun แล้ว อีกวิธีหนึ่งที่นิยมมากคือใช้ Common-Mode Choke (บางครั้งเรียกย่อว่า CMC) ที่ได้จากการนำสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมร้อยและพันผ่านแกน ferrite หลายรอบ ทำให้เกิด "อิมพีแดนซ์ที่มีต่อกระแสโหมดร่วม" (Common-Mode Impedance) สูง แต่มักมีคำถามเกี่ยวกับชนิดของเฟอร์ไร้ท์ที่จะใช้ 

Ferrite แบบไหนจึงเหมาะกับการทำ Common-Mode Choke  

หลายคนอาจคิดถึงพารามิเตอร์ที่เป็นตัวเลือกแรกคือมี permeability (μ) สูงๆ เพราะเป็นคุณสมบัติหนึ่งของแกนเฟอร์ไร้ท์ทำให้เมื่อเราพันลวดหรือสายนำสัญญาณลงไปแล้วจะเกิดค่าความเหนี่ยวนำ (inductance, L) สูง และความเหนี่ยวนำค่าสูงจะสามารถหยุดกระแสไฟฟ้าความถี่สูงได้ดีเนื่องจากทำให้รีแอคแดนซ์จากความเหนี่ยวนำ (inductive reactance, X_L = jωL) 

คำตอบนี้ไม่ผิดเสียทีเดียว แต่ยังไม่ครบ และถ้าเอาไปใช้เป็นเกณฑ์เพียงอย่างเดียวอาจทำให้เราเลือก ferrite ผิดชนิดได้   เพราะสิ่งที่เราต้องการจาก Common-Mode Choke จริง ๆ ไม่ใช่แค่ความเหนี่ยวนำสูง  แต่คือ อิมพีแดนซ์ต่อกระแสโหมดร่วม (Common-Mode Impedance, Z_cm) สูงที่ความถี่ที่เราต้องการใช้งาน และ อิมพีแดนซ์ (Z_cm) ไม่ได้ประกอบไปด้วยรีแอคแตนซ์จากความเหนี่ยวนำ (X_L) เพียงอย่างเดียว แต่มีส่วนของความต้านทานด้วย 

Z_cm = R + jX_L   

ซึ่งปกติแล้วเราไม่ชอบความต้านทาน (R) ในระบบอะไรใดๆ ที่เกี่ยวกับสายอากาศ เพราะมันทำให้เกิดการสูญเสียกำลัง แต่นั่นไม่ใช่กับกำลังที่เกิดจากกระแสโหมดร่วม (I_cm)  

Common Mode Choke กำลังทำอะไรกับกระแส  

ก่อนอื่นต้องทบทวนความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับสายนำสัญญาณก่อน จากนั้นจึงเข้าใจว่าโหมดของกระแสต่างๆ บนสายนำสัญญาณมีอะไรบ้าง 

• เนื่องจากผลของ Skin Effect (กระแสไฟฟ้าที่ความถี่สูงจะไหลเฉพาะบริเวณตื้นๆ ของโลหะ) ซึ่งสำหรับโลหะทองแดงที่ความถี่ 7, 14, 144MHz กระแสจะไหลลึกลงไป (ความลึกนี้เรียกว่า Skin Depth, δ) เพียงประมาณ 0.025, 0.018, และ 0.006 มม. ตามลำดับ เท่านั้น   ซึ่งโลหะที่เป็นชีลด์ของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial cable) หนากว่านั้นมาก  ทำให้ผิวด้านนอกและด้านในกลายเป็นตัวนำสองตัวที่แยกจากกัน 
• Differential Mode (DM) คือกระแสที่เราต้องการให้ไหลในระบบส่งสัญญาณ กระแสนี้ไหลที่ผิวนอกของแกน กับ ผิวในของชีลด์ของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial cable) หรือทั้งสองด้านของสายนำสัญญาณแบบสายคู่ (twin-lead cable) กระแสบนโลหะสองส่วนนี้จะมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้ามกัน  กระแสนี้เป็นตัวหลักที่พากำลังจากเครื่องส่งวิทยุผ่านไปทางสายนำสัญญาณ (เช่น จูนเนอร์ ลิเนียร์แอมป์ เป็นต้น) 
• Common Mode (CM) คือกระแสที่ไหลอยู่ที่ผิวนอกของชีลด์ของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (เป็นคนละกระแสกับที่ไหลที่ผิวด้านในของชีลด์)  หรือถ้าเป็นสายนำสัญญาณแบบคู่ก็จะเป็นกระแสที่ไหลในทิศเดียวกันบนโลหะตัวนำทั้งสอง และไม่มีอะไรตรงกันข้ามกับมัน 
• ทั้งกระแสในโหมด DM และ CM สามารถมีอยู่และไหลพร้อมกันได้ในเวลาเดียวกัน

สำหรับสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial cable)  เราสามารถนึกภาพอย่างง่ายได้ว่า กระแสไฟฟ้าความถี่สูง (RF current) ที่เราต้องการส่งไปยังสายอากาศจริงๆ และอยากใช้งานมันนั้นจะอยู่ใน transmission-line mode ภายในสายนำสัญญาณ (เป็น Differential Mode และเป็นคลื่นแบบ TEM) ส่วนกระแสโหมดร่วม (Common-Mode Current) สามารถไหลอยู่บน ผิวด้านนอกของชีลด์ซึ่งคือกระแสที่เราต้องการกำจัดหรือลดให้น้อยลง (เราไม่อยากให้มันมี ไม่อยากใช้งานมัน เรียกได้ว่าเป็นตัวป่วนก็ว่าได้) 

เมื่อเราร้อยสายนำสัญญาณ coaxial cable ผ่านแกนเฟอร์ไร้ท์หลายรอบ กระแส Common Mode ในแต่ละรอบจะสร้างเส้นแรงแม่เหล็ก (magnetic flux) ไปในทิศทางเดียวกัน ทำให้เกิดอิมพีแดนซ์กับกระแสโหมดร่วมขึ้น 

รูปที่ 2 ลูกศรสีฟ้าคือกระแส Differential Mode
ซึ่งมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม  ส่วน

ลูกศรสีน้ำเงินคือกระแสโหมดร่วม มีทิศทาง

เดียวกัน ทำให้ฟลักซ์ในแกนเฟอร์ไร้ท์เสริมกัน

เกิด Z_cm ขนาดใหญ่

พูดง่ายๆ คือ สายยังต่อถึงกันเหมือนเดิม แต่สำหรับ Common-Mode Current แล้ว มันไหลยากเพราะมีอิมพีแดนซ์สำหรับมันคอยขวางอยู่ ถ้าอิมพีแดนซ์สำหรับกระแสโหมดร่วมนี้สูงพอ กระแส (I_cm) ก็จะลดลง

สิ่งที่เราต้องการจริง ๆ คือต้องการให้อิมพีแดนซ์สำหรับกระแสโหมดร่วม (Z_cm) มีค่าสูงสำหรับ choke เราสามารถเขียน impedance แบบง่าย ๆ ได้ว่า

Z_cm = R + jX_L  

นั่นคือ Z_cm อยู่ในรูป จำนวนเชิงซ้อน
โดย
R คือ resistive component (ส่วนจริง คือความต้านทาน)
X_L คือ reactive component (ส่วนจินตภาพ คือรีแอคแตนซ์)

และขนาด ( เขียนประกบด้วย |   | ) ของอิมพีแดนซ์ต่อกระแสโหมดร่วม

|Z_cm| =  √( R² + X_L² )  

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราสนใจมากที่สุด เพราะเป็นขนาดของอิมพีแดนซ์ที่กระแสโหมดร่วม (Common Mode Current, I_cm) มองเห็น  คือถ้า |Z_cm| สูงมากเมื่อเทียบกับอิมพีแดนซ์ที่ทำให้กระแสโหมดร่วมไหลได้ กระแสก็จะถูกลดลง

ถ้าเราดูผ่านๆ เราพอจะรู้ว่าค่าความเหนี่ยวนำของขดลวดที่พันบนแกนเฟอร์ไร้ท์จะขึ้นกับค่า permeability (μ) ของเฟอร์ไร้ท์   แต่เนื่องจากความซับซ้อนของ permeability ที่ทำให้เกิดทั้ง R และ X (ที่จะไปทำให้เกิด |Z_cm| เป็นเท่าไรต่อไป) 

จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมเวลาเลือก ferrite สำหรับ choke เราจึงต้องดูว่า ที่ความถี่ที่เราจะใช้งานมัน มันให้ impedance |Z_cm| รวมเป็นเท่าไร มากกว่าถามเพียงว่า Ferrite ตัวนี้มี permeability (มักหมายถึง μ')  เท่าไร?

รูปที่ 3 เมื่อร้อยสายนำสัญญาณแกนร่วมเข้า

ในห่วงเฟอร์ไร้ท์ กระแสโหมดร่วม หรือ common

mode (ลูกศรแดง) จะถูกหน่วงด้วย Z_cm ในขณะ

ที่สัญญาณที่เราใช้งาน คือ differential mode

(ลูกศรสีเขียว) ไม่ถูกกระทบเพราะมีขนาด

เท่ากันแต่ทิศตรงกันข้ามกันระหว่างผิวนอก

ของแกนกับผิวในของชีลด์ของสายนำสัญญาณ

ค่า μ' และ μ'' ของเฟอร์ไร้ท์  

ค่าคุณสมบัติทางฟิสิกส์สองตัวนี้ที่เรียกว่า เพอร์มีอะบิลิตี้ (permeability) เป็นหัวใจของเรื่องการเลือกเฟอร์ไร้ท์เลย  โดย Ferrite ไม่ได้มี permeability เป็นเพียงตัวเลขเดียว แต่ในย่านความถี่สูง permeability จะเป็นค่าเชิงซ้อน หรือ Complex Permeability เขียนได้เป็น

μ = μ'- jμ''

โดยทั่วไป:

μ' เป็นส่วนที่เกี่ยวข้องกับการเก็บพลังงานแม่เหล็ก หรือมองง่ายๆ ว่าเป็นส่วนที่ช่วยสร้าง inductance
μ'' เกี่ยวข้องกับ magnetic loss 

พูดให้เห็นภาพง่ายขึ้นอีกว่า

μ' → ช่วยสร้าง reactive impedance (ส่วนของ X_L ที่เราพูดถึงที่ผ่านมา)
μ'' → ช่วยสร้าง loss หรือ resistive impedance (ส่วนของ R ที่เราพูดถึงที่ผ่านมา) 

ตรงนี้เองที่ทำให้เกิดความเข้าใจผิดที่น่าสนใจว่า ค่าของสองตัวนี้สูงทั้งคู่จะดีไหม หรือ μ′ สูงแต่ μ ต่ำ ถึงจะดี

ถ้าเรากำลังออกแบบตัวเหนี่ยวนำ (inductor) ที่ต้องการ Q สูงและ loss ต่ำ แนวคิด μ′ สูง และ μ″ ต่ำ ฟังดูสมเหตุสมผลมากเพราะเราต้องการเก็บพลังงานในสนามแม่เหล็กให้มาก และสูญเสียพลังงานให้น้อย

แต่ Common-Mode Choke มีเป้าหมายต่างออกไป คือ เราไม่ได้ต้องการเก็บพลังงาน RF เอาไว้ให้ดี เราต้องการทำให้ Common-Mode Current ไหลยาก และในหลายกรณี เราไม่ได้รังเกียจที่จะให้พลังงาน RF บางส่วนถูกเปลี่ยนเป็นความร้อนใน ferrite ด้วย (ซึ่ง ตามมาด้วยความร้อนนะ แต่บางทีก็เกิดผลดีมากกว่าผลเสีย) 

ดังนั้น สำหรับ Common-Mode Choke ค่า μ'' ที่ไม่ต่ำเกินไปอาจเป็นประโยชน์เพราะมันช่วยสร้าง resistive component ของ impedance ขึ้นมา

รูปที่ 4 Permeability เชิงซ้อนของเฟอร์ไร้ท์ (μ) 

ประกอบด้วย μ' และ μ'' ซึ่งเป็นส่วนจริงและ

จินตภาพ โดยมีค่าเปลี่ยนไปขึ้นกับความถี่ และ

ภาพนี้แสดง μ สำหรับ Mix 31

ทำไม Resistive Impedance ถึงมีประโยชน์   

หัวข้อนี้ถูกเขียนแยกออกมา เพราะสำคัญแต่มักถูกลืม  ลองเปรียบเทียบ choke สองตัว

ตัวแรก

Z_cm = j5000 Ω
นั่นคือขนาด |Z_cm| = 5000 Ω
โดย impedance ส่วนใหญ่เป็น reactive

อีกตัวหนึ่ง
Z_cm = 1000 + j4000 Ω
ขนาด impedance ของตัวที่สองคือ
|Z_cm| = √( 1000² + 4000² )  ≈ 4123 Ω

ทั้งสองตัวมี impedance สูงในระดับ kΩ แต่ตัวที่สองมี resistive component (ส่วนของ R) อยู่ด้วยซึ่งมีข้อดีตรงที่ choke จะมีพฤติกรรมเป็น lossy impedance (เรารู้ว่าเมื่อมีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านความต้านทาน R จะเปลี่ยนพลังงานสูญเสียไปเป็นความร้อน) มากกว่าเป็นเพียง inductor ที่มี Q สูง และนี่เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์สำหรับการทำ broadband RF choke

เวลาพูดถึงอุปกรณ์ไฟฟ้าต่างๆ รวมถึง ferrite เรามักนึกว่า loss หรือการสูญเสียเป็นสิ่งที่ไม่ดี แต่ต้องถามก่อนว่า Loss ที่ไหน และเรากำลังทำอะไรกับ ferrite  → ถ้าทำ power transformer หรือ RF inductor loss อาจเป็นสิ่งที่ต้องการลด ไม่เช่นนั้นพลังงานที่เราต้องการจะหายไปหมด

แต่ถ้าทำ Common-Mode Choke เรากำลังพยายาม หยุด RF energy ที่เราไม่ต้องการ (ส่วนที่มาจาก I_cm) ประมาณว่ามันจะหายไปด้วยทางไหนก็ไม่ว่า กลายเป็นความร้อนบ้างก็ไม่เป็นไรถ้าไม่สร้างปัญหาอื่น

จึงกลายเป็นจุดที่น่าสนใจที่สุดว่า Ferrite ที่ lossy (มีการสูญเสียเป็นความร้อน) จึงไม่ใช่ Ferrite ที่ไม่ดีสำหรับทำ Common Mode Choke   การที่ ferrite มี loss ที่เหมาะสมจึงเป็นส่วนหนึ่งของการทำงาน กลายเป็นข้อดีไป

อย่างไรก็ตาม ไม่ได้หมายความว่า ยิ่ง μ'' สูง (ทำให้ R สูงไปด้วย) ยิ่งดี เพราะถ้าการสูญเสียเป็นความร้อนมากเกินไปแกนเฟอร์ไร้ท์เองก็จะร้อน และอาจรับกำลัง RF ไม่ไหว จึงต้องหาจุดสมดุลระหว่าง

• R 
• X_L   
• และ ความสามารถในการรับกำลัง (power handling) ของ core (ซึ่งกรณี Common Mode Choke จะรับเฉพาะกำลังของ I_cm) 

ถ้า Choke มีแต่ Pure Inductance (+jX_L) สูงๆ โดยไม่มี Resistance (R) จะเกิดอะไรขึ้น   

ลองจินตนาการว่าถ้าเราใช้ Ferrite ที่ไม่มี Magnetic Loss เลย (μ"=0) เมื่อพันออกมา เราจะได้ Choke ที่เป็น Pure Inductor (Z_cm = 0 + jX_L) หรือ R = 0 Ω  

แม้ว่าค่า +jX_L ที่สูงมาก จะช่วยกั้นไม่ให้กระแส I_cm ไหลผ่านไปได้สะดวก แต่เนื่องจากตัว Inductor ไม่มีความสามารถในการสลายพลังงาน (No Power Dissipation) สิ่งที่มันทำได้มีเพียงอย่างเดียวคือ การเก็บสะสมพลังงานไว้ในรูปสนามแม่เหล็ก แล้วพร้อมจะสะท้อน/ดีด พลังงาน RF นั้นกลับออกมา (Reflected Wave) ผลกระทบที่ตามมาเมื่อ Choke มีแต่ Pure Reactance (+jX_L) คือ:

• เกิดปรากฏการณ์ Resonant Spike (จุดเรโซแนนซ์อันตราย) 

ในสายนำสัญญาณหรือระบบกราวต์ จะมีความจุไฟฟ้าแฝง (C) แฝงอยู่อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้  หากค่า +jX_L ของ Choke ไปเรโซแนนซ์เข้ากับค่า -jX_c ของระบบในความถี่นั้นพอดี (X_L = X_c) อิมพีแดนซ์รวมอาจจะหักล้างกันจน เหลือต่ำมาก หรือเกิดแรงดัน/กระแสสะสมมหาศาลตรงจุด Choke ทำให้ Choke "หลุด" ไม่สามารถกั้น I_cm ได้ที่ความถี่นั้น 

• พลังงานไม่หายไปไหน แต่ย้ายไปกวนจุดอื่น 

เมื่อพลังงาน RF ของ I_cm วิ่งมาชน Pure Reactive Choke พลังงานจะถูกสะท้อนกลับ (Reflect) ย้อนกลับไปตามผิวนอกของสาย Coax ไปหาตัวเครื่องส่ง (Transmitter) หรืออุปกรณ์อื่นๆ ในห้องวิทยุแทน เกิดปัญหา RFI แผ่กระจายอยู่ด้านหน้า Choke เหมือนเดิม

• พฤติกรรมแคบ (Narrowband)

Choke ที่เป็น Pure Inductance  จะตอบสนองไวต่อความถี่มาก ถ้าความถี่เปลี่ยนนิดเดียว ค่าอิมพีแดนซ์ก็เปลี่ยนมาก ต่างจาก Choke ที่มีส่วนของ Resistance (R > 0) ร่วมด้วย ซึ่งจะทำหน้าที่เหมือนฟองน้ำซับพลังงาน RF ช่วยกลืนกินพลังงาน I_cm เปลี่ยนให้กลายเป็นความร้อนเล็กๆ ทิ้งไป (แต่แกนเฟอร์ไร้ท์จะร้อนขึ้นด้วย) พลังงานนั้นจึงถูกกำจัดอย่างเด็ดขาด ไม่ถูกดีดสะท้อนกลับ และช่วยให้ Choke ทำงานได้กว้าง (Broadband) และเสถียรกว่ามาก (มี Loss → Q ต่ำลง) 

นี่คือเหตุผลว่าทำไมเราถึงต้องการ "Lossy Ferrite" ที่มีค่า μ" ที่เหมาะสม เพื่อสร้างส่วนผสมของ R มาช่วยสลายพลังงาน ไม่ใช่แค่พึ่งพา X ในการดีดพลังงานกลับไปกลับมาอย่างเดียว

Mix ต่างๆ เช่น  31, 43 หรือ 61 ต่างกันอย่างไร  

Material หรือบางทีเราเรียกว่า Mix ซึ่งได้ชื่อมาจาก "ส่วนผสม" ของสารต่างๆ ที่สร้าง ferrite ออกมา (เช่น Fe, Ni, Zn และอื่นๆ)  เมื่อผสมและสร้างออกมาแล้ว แต่ละ material จะมี characteristic ของ complex permeability แตกต่างกันและเปลี่ยนไปตามความถี่ด้วย โดยคร่าวๆ แล้ว material (หรือ mix) ที่เหมาะกับการนำมาทำ common mode choke:

• Mix 31 มักเป็น material ที่น่าสนใจมากในย่านความถี่ HF โดยเฉพาะความถี่ต่ำกว่า 10 MHz
• Mix 43 เป็น material ที่ได้รับความนิยมมากใน HF และขึ้นไปถึง VHF ช่วงต้นๆ
• Mix 61 เหมาะกับความถี่ที่สูงขึ้น และมักใช้เมื่อความถี่อยู่สูงกว่า HF ไปทาง VHF/UHF

ดังนั้น สมมติว่าเราจะทำ Common-Mode Choke ที่ 7 MHz Mix 31 จึงเป็นตัวเลือกแรกๆ ที่ควรเอามาพิจารณาใช้ แต่ไม่ควรตีความว่า ถ้าจะสร้าง Common-mode Choke สำหรับ 7 MHz จะต้องใช้ Mix 31 เสมอ เพราะ performance จริงขึ้นกับทั้ง material, รูปร่างแกน (core), ขนาด core, จำนวนรอบ และ geometry ของ winding อีก 

สิ่งที่ควรดูคือ Z_cm  ที่ 7MHz (หรือความถี่ใช้งานอื่นๆ) ไม่ใช่เพียงหมายเลข Mix

ค่า Initial Permeability (μ_i)  

ใบข้อมูล (datasheet) ของ ferrite มักให้ค่าเพอร์มีอะบิลิตี้เริ่มต้น (initial permeability) หรือ μ_i :  เป็นค่าตั้งแต่ความถี่ต่ำๆ  ตัวเลขนี้มีประโยชน์ในการบอกลักษณะของ material ก็จริงแต่ไม่ควรเอามาใช้แทนอิมพีแดนซ์ของ choke ทั้งชุดเพราะเมื่อเอา ferrite มาทำเป็น choke จริง จะมีปัจจัยอื่นเข้ามาอีกมากมาย เช่น 

• จำนวนรอบ
• ลักษณะรูปร่างของแกน (core geometry)
• ลักษณะการพันขดลวด (winding distribution)
• ความจุไฟฟ้าแฝง (parasitic capacitance)
• ความถี่เรโซแนนซ์ของตัวเอง (self-resonant frequency)
• อิมพีแดนซ์ของตัวสายนำสัญญาณที่ใช้ (cable impedance)
• ความถี่ที่ใช้งาน (frequency)
• อุณหภูมิ (temperature)

ดังนั้น ferrite A อาจมี μ_i สูงกว่า ferrite B แต่เมื่อทำเป็น choke จริงที่ 7 MHz กลับให้ Z_cm ต่ำกว่าได้

การพันจำนวนรอบมากขึ้นไม่ได้แปลว่าดีขึ้นตลอด  

ในจำนวนรอบที่ไม่มากนัก เรามีความสัมพันธ์โดยประมาณว่า  

L ∝ N^2

ดังนั้นถ้าเพิ่มจำนวนรอบจาก 3 รอบเป็น 6 รอบ ค่าความเหนี่ยวนำ (inductance) ในอุดมคติจะเพิ่มขึ้นประมาณ 4 เท่า  เลยดูเหมือนว่า “พันเยอะ ๆ ไว้ก่อน” จะดี  แต่ในโลกจริงไม่ได้เป็นแบบนั้น เพราะทุกครั้งที่เพิ่มรอบ เราก็เพิ่มความจุไฟฟ้าแฝง (parasitic capacitance) ไปด้วยตรงระหว่างรอบหนึ่งกับอีกรอบหนึ่ง ในที่สุด choke จึงไม่ได้เป็นเพียง

L

แต่กลายเป็น network ที่ประกอบด้วย

L, R, C_parasitic

ทำให้มีความถี่เรโซแนนซ์ของตัวเอง (Self-Resonant Frequency, SRF) เกิดขึ้น    ซึงเมื่อความถี่ที่มันทำงานเข้าใกล้ SRF → impedance อาจสูงมากเป็นพิเศษ แต่เมื่อเลย SRF ไปแล้วพฤติกรรมจะเปลี่ยนไป

รูปที่ 5 ระหว่างรอบของขดลวดที่พัน

ลงบนแกนเฟอร์ไร้ท์ จะมีความเหนี่ยวนำ

ไฟฟ้าย่อย อนุกรมกัน และมีความจุไฟฟ้า

แฝงอยู่ระหว่างความเหนี่ยวนำไฟฟ้า
ความจุไฟฟ้าแฝง ซึ่งเป็นที่มาของ

ความถี่เรโซแนนซ์ของตัวเอง (SRF)

ดังนั้นการเพิ่มรอบจนถึงจุดหนึ่งอาจทำให้เพิ่มรอบแล้ว impedance ที่ 7 MHz กลับลดลงได้ จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมต้องดูกราฟ Impedance  ถ้ามีข้อมูลจากผู้ผลิต สิ่งที่อยากเห็นมากที่สุดคือกราฟประมาณนี้:

Z(f) - f 

หรือดียิ่งกว่านั้นคือแยกเป็น

R(f), X(f) - f 

รูปที่ 6   (a) วงจรสมมูลของ Common-Mode Choke

มีความเหนี่ยวนำและความจุไฟฟ้าขนานกันและเกิด

SRF ขึ้น ในขณะเดียวกันก็มีความต้านทานเสมือน R_AC 

ซึ่งเกิดจาก Magnetic Loss ในแกนเฟอร์ไร้ท์ 

(b) แสดง R_AC และ X_L ที่เป็นส่วนประกอบของ Z_cm 

และเปลี่ยนไปตามความถี่

ถ้าเราจะทำ choke ที่ 7 MHz ก็ต้องดูว่าแถว ๆ 7 MHz นั้น material ให้ impedance แบบไหน ค่าต่ำหรือสูง ซึ่งกราฟแบบนี้จะบอกเรามากกว่าการเห็นตัวเลข μ_i เพียงตัวเดียว

Common-Mode Choke ที่ดีต้องไม่ขวาง (block) Differential Mode  

เป็นอีกเรื่องที่สำคัญมากและมักไม่ค่อยมีใครพูดถึง   
Current Balun ที่ดีต้องการให้:

Z_cm >> Z_dm   

คือ Common Mode Current เจอ impedance สูง
แต่ Differential Mode ควรผ่านได้โดยไม่ถูกกระทบมากเกินไป

นี่คือเหตุผลที่ current balun กับ transformer balun มีแนวคิดแตกต่างกัน
Current Balun ไม่ได้พยายาม แปลงแรงดันด้วยอัตราส่วนรอบ แต่กำลังทำสิ่งที่ง่ายกว่านั้นคือสร้าง อิมพีแดนซ์สูงในเส้นทางที่กระแสโหมดร่วมไหล (common-mode path)

กำลังส่ง 100 W, 500 W หรือ 1 kW เกี่ยวไหม  

เกี่ยว และเกี่ยวมากกว่าที่คิดด้วย
สมมติว่า choke มี resistive component

R_cm = 1kΩ

และมี Common-Mode Current

I_cm = 100mA 

กำลังที่ถูก dissipate ในส่วน resistive โดยประมาณคือ

P = I2 ⨯ R  

ดังนั้น

P = (0.1)2 ⨯ (1000) = 10W

นั่นหมายความว่า ferrite ต้องจัดการพลังงานประมาณ 10 W
ถ้าเป็น core เล็ก ๆ นี่ไม่ใช่เรื่องเล็กเลย core อาจร้อนขึ้นมาก และเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยน magnetic properties ก็เปลี่ยนตาม

เพราะฉะนั้น “Power Handling” ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย ในงานกำลังสูงเราต้องพิจารณา: 

• Core size
• Core loss
• Temperature rise
• Maximum operating temperature
• Flux density
• จำนวนรอบ
• ขนาดสาย
• ฉนวน
• RF voltage
• RF current    และที่สำคัญคือ 
• การเปลี่ยนแปลงของ material เมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น

เพราะ choke ที่วัดตอนเย็น ๆ อาจมี impedance สูงมาก แต่หลัง transmit ไปสักพัก core ร้อนขึ้น impedance อาจเปลี่ยนและ performance ของ choke ก็เปลี่ยนตาม

ความเสียหายแบบถาวร (Irreversible Damage)

คือความเสียหายที่เกิดขึ้นได้กับแกนเฟอร์ไร้ท์แบบย้อนกลับไม่ได้ (คือ เสียแล้ว เสียเลย สภาพเปลี่ยนโดยถาวร)  กรณีที่ core ถูกใช้งานเกิน thermal limit หรือ magnetic limit บางประเภทของ ferrite สามารถเกิดการเปลี่ยนแปลงของคุณสมบัติทางแม่เหล็ก (magnetic properties) แบบถาวรได้

ดังนั้นในการออกแบบ choke กำลังสูง เราไม่ควรถามแค่ว่า Core แตกหรือยัง แต่ควรถามว่าหลังใช้งานแล้ว magnetic properties และ impedance ยังอยู่ในสภาพเดิมหรือไม่  จึงเป็นเหตุผลว่าทำไม thermal design จึงเป็นส่วนหนึ่งของ RF choke design

สมมติว่าถ้าจะเลือก Ferrite สำหรับทำ Common-Mode Choke ควรเริ่มอย่างไร

ขั้นตอน

1. กำหนดความถี่

เช่น f = 7.1MHz

2. กำหนดว่าต้องการ Common-Mode Impedance ระดับใด

เช่นต้องการระดับหลาย kΩ

3. เลือก material candidates เช่น

Mix 31
Mix 43
Mix 61

4. ดู complex permeability / impedance curve

อย่าดูเฉพาะ μ_i   ให้ดูว่า material มีพฤติกรรมอย่างไร ตรงบริเวณ 7 MHz

5. เลือกรูปร่างลักษณะของแกน (core geometry)  

Toroid, clamp-on, binocular ฯลฯ มีผลต่อผลลัพธ์

6. ทดลองจำนวนรอบ

เรารู้ว่าความเหนี่ยวนำของขดลวดแปรผันตามกำลังสองของจำนวนรอบ 

L ∝ N²   

แต่ต้องไม่ลืมว่าในการพันขดลวดใดๆ ย่อมมีความจุไฟฟ้าแฝง (parasitic capacitance) เกิดขึ้น และเมื่อความเหนี่ยวนำไฟฟ้าและความจไฟฟ้าอยู่ด้วยกันอุปกรณ์รวมนั้นย่อมมีพฤติกรรมการเรโซแนนซ์ด้วยตัวเอง (Self-Resonance Frequency, SRF) 

7. วัด impedance ของ choke ที่ทดลองสร้างขึ้น

ถ้าเป็นไปได้ควรวัดทั้ง R(f) และ X(f) ด้วย VNA (Vector Network Analyzer) หรือ impedance analyzer ที่สามารถบอกได้ทั้งค่าของ Resistance (ความต้านทานไฟฟ้า) และ Reactance (รีแอคแตนซ์) 

8. ทดสอบด้วยการป้อนกำลังจริง 

ตรวจสอบโช้คที่พันขึ้นโดยป้อนกำลังทางไฟฟ้าความถี่สูง (RF power เช่น จากเครื่องส่งกำลังสูง หรือ กำลังที่เราต้องการ) และตรวจสอบดูว่า: 

• Temperature 
• Impedance drift 
• Core heating  
• Performance 

ดังนั้นเมื่อเราจะพัน Common-Mode Choke ขึ้นมาสักตัวหนึ่ง ต้องตั้งคำถามในการเลือก Ferrite material (mix) ให้ถูกต้องก่อน  แทนที่จะถามว่า Ferrite ตัวนี้มี μ สูงหรือเปล่า อาจจะต้องเปลี่ยนเป็น  เมื่อเอา Ferrite ตัวนี้มาทำเป็น Common-Mode Choke ด้วยจำนวนรอบและลักษณะการพันที่กำหนด มันให้ Common-Mode Impedance เท่าไรที่ความถี่ที่เราใช้งาน 

หรือถ้าจะให้ดีขึ้นอีก:

Impedance นั้นประกอบด้วย R และ X เท่าไร และมันยังคงค่าเหล่านั้นได้หรือไม่เมื่อใช้งานด้วย RF power จริง

นี่คือวิธีคิดจาก Material → Component → System
แทนที่จะหยุดอยู่ที่ Material อย่างเดียว

ตารางที่ 1 เป็นตัวอย่างการทดลองสร้าง Common-Mode Choke ที่ทำจากสายนำสัญญาณ RG58 พันลงแกนเฟอร์ไร้ท์ Mix43 ผู้เขียนทดลองพันจำนวนรอบต่างๆ กันแล้ววัดส่วนประกอบของอิมพีแดนซ์ของ Choke ที่ได้ที่ความถี่ 7MHz  จะเห็นว่าที่จำนวนรอบ 7 รอบขึ้นไป ก็ได้ขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z_cm| สูงระดับหลาย KΩ  ซึ่งเพียงพอต่อการลดกระแสโหมดร่วมแล้ว   และการพันที่ 13 รอบจะเห็นค่า x_L กลายเป็นค่าติดลบ (negative) บ่งบอกว่า Choke เริ่มทำงานในฝั่ง Capacitive เนื่องจากการเรโซแนนซ์ด้วยตัวเอง (Self Resonance Frequency, SRF) ซึ่งในการใช้งานจริงเราอาจจะลดรอบลงเหลือ 10-11 รอบก็ยังถือว่าอยู่ในช่วงที่ทำงานได้ดีมาก

ตารางที่ 1 แสดงอิมพีแดนซ์ที่เกิดขึ้นสำหรับ
กระแสโหมดร่วม (Z_cm) ที่ความถี่ 7MHz เมื่อ

พันสายนำสัญญาณ RG58 ลงในแกนเฟอร์ไร้ท์

 Mix43 จะเห็นว่ามีส่วนของความต้านทาน R

ค่าสูงประกอบอยู่ด้วย (ซึ่ง เป็นสิ่งที่เราต้องการ)

สรุป

1. Common-Mode Choke เป็นอุปกรณ์ที่ทำหน้าที่ลดกระแสโหมดร่วมบนสายนำสัญญาณ ซึ่งมักเกิดเมื่อโหลดที่สายนำสัญญาณนั้นไปต่อ ไม่สมดุล
2. Common-Mode Choke ที่ดีจะต้องให้ขนาดของอิมพีแดนซ์สำหรับสัญญาณโหมดร่วม |Z_cm| สูง 
3. ถ้า Common-Mode Choke ถูกสร้างจากการพันสายนำสัญญาณบนแกนเฟอร์ไร้ท์   Z_cm  จะประกอบไปด้วยความต้านทาน R ซึ่งเกิดจาก magnetic loss ในแกนเฟอร์ไร้ท์ (เป็นผลจาก μ" ของเฟอร์ไร้ท์) และรีแอคแตนซ์ X_L (เป็นผลจาก μ' ของเฟอร์ไร้ท์)  
4. Common-Mode Choke ไม่ใช่แค่ inductor บริสุทธิ์ที่มีแต่ X_L โดย R → 0  เพื่อให้ได้ Q สูง  แต่สิ่งที่เราต้องการคือ |Z_cm| สูงที่ความถี่ใช้งาน โดย Z_cm ประกอบด้วยทั้ง R และ X_L นั่นคือเราต้องการ R ด้วยเพื่อช่วยสลายพลังงานกระแสโหมดร่วมไปเป็นความร้อน  เพราะถ้ามีแต่ X_L พลังงานก็อาจเพียงถูกกักเก็บและส่งกลับออกมาภายหลัง
5. ในการออกแบบ Common-Mode Choke นอกจากหาวิธีพันให้จำนวนรอบเหมาะสมแล้ว เราจะต้องเลือกชนิดของเฟอร์ไร้ท์ให้มี μ' และ μ'' เหมาะสมเพื่อให้ได้ X_L และ R ที่เหมาะสม → และได้ |Z_cm| สูงพอที่ความถี่ที่ใช้งาน
6. จำนวนรอบ, รูปร่างของแกน, ความจุไฟฟ้าแฝง, ความถี่เรโซแนนซ์ของตัวเอง (SRF), อุณหภูมิ และ กำลัง RF ที่ใช้ ล้วนมีผลต่อการทำงานจริงของ Common-Mode Choke ที่สร้างจากแกนเฟอร์ไร้ท์  

ตัวอย่าง ความถี่ 7 MHz เฟอร์ไร้ท์ Mix 31 มักเป็น candidate ที่น่าสนใจ เพราะมี characteristic ที่เหมาะกับการให้ Z_cm = R + jX_L  ที่สูงในย่านนี้ รองลงมาคือ Mix 43 แต่สุดท้ายแล้ว ไม่มี Mix ไหนที่ชนะขาดในทุกด้านของคุณสมบัติ

ทั้งหมดนี้คือเหตุผลที่ Common-Mode Choke ที่ดูเหมือนเป็นเพียง “สายไฟพัน ferrite หลายรอบ” จริง ๆ แล้วมี physics อยู่ข้างในเยอะกว่าที่เห็นมาก

---

©Jitrayut Chunnabhata, 2026.

This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is not permitted without prior permission. 

© 2026 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ

เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และไม่อนุญาตให้คัดลอกหรือเผยแพร่ซ้ำโดยตรงโดยไม่ได้รับอนุญาต

กิจกรรมและประชุมประจำเดือน กรกฎาคม 2569

 

พบกันเช่นเคยที่สถานีกิจกรรมพิเศษ E20AE ของชมรม The DXer เมื่อวันเสาร์ที่ 18 กรกฎาคม 2569 เพื่อนๆ มาเล่นด้วยกันเหมือนเคย เช่น

• ทดสอบสายอากาศต่างๆ
• วัดกระแสที่เกิดจากสายอากาศที่ไม่สมดุลที่ผิวสายนำสัญญาณ และวิธีกำจัดมัน
• คุยเรื่องที่มาของ Smithchart , Vector สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ และการอ่านมัน 
• Concept เบื้องต้นของการแมทช์อิมพีแดนซ์
• ทดลองสายอากาศ Moxon, Sleeve Dipole, Cage Quaterwave
• คุยเรื่องเครือข่ายดิจิตอลและการเชื่อมโยง
• ทดลองวัดกำลังด้วย Bird43 และการคำนวณ SWR 
• สนทนาเรื่องทั่วไปของวิทยุสมัครเล่น 

Bird43 Thruline power meter 

และ Kuranishi SWR meter

พี่ตู่ HS1ZHY กำลังเตรียมระบบสื่อสาร

ของเล่นเยอะ ต้องช่วยกันเล่นหน่อย

เครื่อง + แบตเตอรี่ ยกลงมาจาก

สถานี mobile มาทดสอบกันก่อน

โดยพื้นฐานแล้วลักษณะอากาศนี้เป็น 

quarterwave antenna มี radials 3 ก้าน

ออกอากาศได้ดีทีเดียว (หลายที ก็ดีนะ!)

Sleeve Dipole Antenna ผลพวงจากงานวิจัย:

การศึกษาพฤติกรรมของ Sleeve Balun 

และการประยุกต์ใช้ใน Sleeve Dipole Antenna

สายอากาศ ต้นนี้เป็น Gamma Matching 

เราเลยได้โอกาสคุยเรื่องเทคนิค

การแมทช์แบบนี้ไปด้วย

เซลฟี่กันหน่อย

ทดลอง ทดสอบ วัดกระแสโหมดร่วม 

ตัวการทำให้แพทเทิร์นการกระจายคลื่น

เพี้ยน SWR ที่วัดได้ก็เพี้ยน

คุยเฟื่องเรื่องโครงข่ายดิจิตอล

ทดสอบ application ส่ง-รับ SSTV (Slow-Scan TV)

แล้วพบกันใหม่ในกิจกรรมครั้งต่อๆ ไปครับ
73 de E20AE
The DXer clubstation

Method of Moments กับโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ

Demystifying MoM: The Engine Behind Antenna Modeling Software

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)

---

การทำงานของสายอากาศและความจำเป็นของโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม สายอากาศ (Antenna) ไม่ใช่แค่ท่อนโลหะธรรมดา แต่เป็น "อุปกรณ์แปลงรูปพลังงาน" ทำหน้าที่เปลี่ยนพลังงานไฟฟ้ากระแสสลับความถี่สูง (RF Current) ที่วิ่งอยู่ในตัวนำ ให้กลายเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Wave) แผ่ออกไปในอวกาศ และในทางกลับกันก็ทำหน้าที่ดักจับคลื่นในอากาศเปลี่ยนกลับมาเป็นสัญญาณไฟฟ้า ขั้นตอนการทำงานของมันก็จะกลับข้างกัน 

การทำงานของสายอากาศขึ้นอยู่กับปัจจัยที่ละเอียดอ่อนมาก ไม่ว่าจะเป็นความยาว ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง รูปร่างเรขาคณิต (วางตัวเป็นรูปร่างอย่างไร) ระยะห่างระหว่างตัวนำ รวมถึงสภาพแวดล้อมรอบข้าง เช่น พื้นดิน หรือโครงสร้างโลหะใกล้เคียง

ในอดีต การสร้างสายอากาศสักต้นต้องอาศัยการลองผิดลองถูก (Trial and Error) ตัด ดัด หัก งอ ปรับระยะ แล้วนำไปวัดจริง ซึ่งเสียทั้งเวลาและงบประมาณอย่างมหาศาล "โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ" (Antenna Simulation Software) จึงเกิดขึ้นมาเพื่อทำหน้าที่เป็นห้องทดลองเสมือนจริง (Virtual Lab) ช่วยให้เราสามารถออกแบบ ปรับแต่ง และพยากรณ์พฤติกรรมของสายอากาศบนคอมพิวเตอร์ได้อย่างแม่นยำก่อนลงมือตัดลวดจริง

สิ่งที่เราจะได้จากโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ  

เมื่อเราป้อนพิกัดเรขาคณิตของสายอากาศ ขนาดของเส้นลวด ความถี่ใช้งาน และคุณสมบัติของจุดป้อนสัญญาณ (Feed point) เข้าไปในโปรแกรม ผลลัพธ์สำคัญที่โปรแกรมวิเคราะห์และคำนวณออกมาให้เรา ได้แก่:

• อิมพีแดนซ์ที่จุดป้อน (Feedpoint Impedance, Zin = R + jX): บอกว่าสายอากาศ ณ ความถี่นั้นมีความต้านทานไฟฟ้ากี่โอห์ม และมีค่ารีแอคแตนซ์เป็นบวก (Inductive) หรือลบ (Capacitive)
• อัตราส่วนคลื่นนิ่ง (SWR - Standing Wave Ratio): บอกระดับความแมตช์ระหว่างสายอากาศกับสายนำสัญญาณ (50Ω) และจะมีคลื่นนิ่งขนาดเท่าไรบนสายนำสัญญาณ 
• รูปแบบการแผ่กระจายคลื่น (Radiation Pattern): แสดงรูปร่างการกระจายพลังงานทั้งในแนวตั้ง (Elevation) และแนวนอน (Azimuth)
• กำลังขยายและทิศทาง (Gain and Directivity): ค่าความเปรียบเทียบการส่งพลังงานในทิศทางหลัก (หน่วย dBi หรือ dBd)
• อัตราส่วนหน้าต่อหลัง (Front-to-Back Ratio / F/B Ratio): สำหรับสายอากาศแบบทิศทาง เช่น Yagi-Uda
• การกระจายตัวของกระแสไฟฟ้า (Current Distribution): แสดงระดับความเข้มของกระแสไฟฟ้าความถี่สูงที่ไหลอยู่บนส่วนต่างๆ ของลวดสายอากาศ

ซึ่งทั้งหมดด้านบนคำนวณได้ไม่ยากเลยถ้าเรารู้ว่ากระแสที่อยู่บนโลหะที่ใช้ทำสายอากาศแต่ละจุดมีค่าเท่าไร 

ความยากในการคำนวณเพื่อหาคำตอบด้วยเทคนิคปกติ  

เพื่อจะได้มาซึ่งค่า SWR, Radiation Pattern และอื่นๆ ในข้อที่แล้ว หัวใจหลักคือ เราต้องรู้ว่ามีกระแสไฟฟ้า (I) ไหลอยู่ ณ ทุกๆ จุดบนเส้นลวดสายอากาศเท่าไร แต่การหากระแสไฟฟ้านี้ไม่ง่าย  หากเราใช้เทคนิคการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม (Analytical Method) แล้วล่ะก็ พอพบกับบรรดาอุปสรรค เช่น

1. พฤติกรรมที่ซับซ้อนของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า: กระแสไฟฟ้าบนสายอากาศเกิดจากการปฏิสัมพันธ์ตามสมการของแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s Equations) ซึ่งติดอยู่ในรูป สมการอินทิกรัลเชิงอนุพันธ์ (Integro-differential Equations) ที่ซับซ้อนมาก
2. ปรากฏการณ์แรงสะท้อนกลับ (Coupling Effect): กระแสในท่อนลวดจุด A จะแผ่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าไปเหนี่ยวนำให้เกิดกระแสที่จุด B และในขณะเดียวกัน กระแสที่จุด B ก็แผ่สนามกลับมารบกวนจุด A ด้วย ทุกๆ จุดบนตัวนำส่งอิทธิพลยันกันไปยันมารบกวนกันตลอดเวลา
3. ข้อจำกัดของสูตรสำเร็จ: สมการคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สามารถแก้หาคำตอบตรงๆ (Exact Solution) ได้เฉพาะรูปทรงที่เรียบง่ายมากๆ ในอุดมคติเท่านั้น เช่น สายอากาศ Dipole แบบลวดเส้นเล็กมากๆ ในอวกาศว่างเปล่า แต่ถ้าสายอากาศเริ่มมีโครงสร้างซับซ้อน มีหลาย Element มีขนาดเส้นลวดจริง หรือมีพื้นดินเข้ามาเกี่ยว การแก้สมการด้วยมือแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย

ดูผนวก 1. เพิ่มเติม 

โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศแต่ละชนิดใช้เทคนิคอะไรบ้างในการทำงาน  

เพื่อก้าวข้ามข้อจำกัดของการแก้สมการด้วยมือ นักวิทยาศาสตร์จึงคิดนอกกรอบ พัฒนา วิธีเชิงตัวเลข  (Numerical Methods) แล้วให้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณ โดยโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศในปัจจุบันแบ่งตามเทคนิคหลักๆ ได้ดังนี้:

• FDTD (Finite-Difference Time-Domain): แบ่งพื้นที่และเวลาออกเป็นบล็อกลูกบาศก์เล็กๆ (Grid/Voxel) เหมาะกับการคำนวณโครงสร้างซับซ้อน 3 มิติ เช่น โทรศัพท์มือถือที่อยู่ติดกับหัวมนุษย์ แต่ใช้ทรัพยากรคอมพิวเตอร์สูงมาก
• FEM (Finite Element Method): แบ่งโครงสร้างออกเป็นตาข่ายสามเหลี่ยมหรือพีระมิด เหมาะกับงานวิเคราะห์วัสดุที่มีรูปร่างโค้งมนหรือตัวนำหลายชนิดผสมกัน (เช่น โปรแกรม HFSS)
• MoM (Method of Moments): เทคนิคระดับตำนานที่เหมาะกับสายอากาศโครงสร้างเส้นลวด (Wire Antennas) มากที่สุด

โปรแกรมยอดนิยมในวงการวิทยุสมัครเล่นและวิศวกรสายอากาศ เช่น EZNEC, MMANA-GAL, 4NEC2, หรือ FEKO ล้วนเลือกใช้เทคนิค Method of Moments (MoM) เป็นหัวใจหลัก (ผ่านเครื่องมือช่วยคำนวณตระกูล NEC - Numerical Electromagnetics Code) เพราะให้ความแม่นยำสูงมากสำหรับตัวนำทรงลวด และใช้พลังการคำนวณที่คุ้มค่ารวดเร็วที่สุด

ดูผนวก 2. เพิ่มเติม  

ขั้นตอนการคำนวณด้วยเทคนิค MoM ในโปรแกรม  

เมื่อเรากำหนดลักษณะหน้าตา รูปร่าง เส้นลวด แหล่งจ่าย และอื่นๆ ซึ่งรวมถึงสิ่งสำคัญมากคือเราจะให้โปรแกรมตัดแบ่งลวดตัวนำเป็นกี่ท่อน (มากท่อนหรือ segment หมายความว่าแต่ละท่อนจะสั้นลง ผลที่ได้จะแม่นยำขึ้น แต่ใช้กำลังมากขึ้นในการคำนวณ) ให้กับสายอากาศหนึ่งๆ จนครบถ้วน แล้วให้โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศอย่าง EZNEC ซึ่งเป็นซอฟต์แวร์ที่ใช้เทคนิค MoM  โปรแกรมจะดำเนินกระบวนการตามขั้นตอนดังนี้:

1. การซอยย่อยตัวนำ (Segmentation):

โปรแกรมจะไม่มองสายอากาศเป็นเส้นลวดยาวต่อเนื่อง แต่มันจะ "หั่น" ตัวนำออกเป็นท่อนเล็กๆ เรียกว่า Segment (โดยทั่วไปจะยาวประมาณ 0.01λ ถึง 0.05λ ตามที่เราสั่งไว้ก่อน) ดูรูปที่ 1 

รูปที่ 1 โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ

อย่าง EZNEC จะแตกโลหะสายอากาศ

ออกเป็นส่วนย่อยๆ (segments) และ

พยายามคำนวณหากระแสในแต่ละส่วน

2. สมมุติรูปแบบกระแสย่อย (Basis Functions):

โปรแกรมจะสมมุติว่าใน Segment เล็กๆ แต่ละท่อน มีกระแสไฟฟ้ากระจายตัวด้วยรูปแบบง่ายๆ ที่เราพอจะคำนวณได้ (เช่น สมมุติให้กระแสใน Segment นั้นเป็นค่าคงที่ หรือเป็นรูปสามเหลี่ยม/ซายน์)  ดูรูปที่ 2 

รูปที่ 2 โปรแกรมอาจจะเริ่มสมมติกระแส
ในท่อน/ชิ้นโลหะสั้นๆ (segment) เป็นค่า
คงที่เท่าๆ กัน หรือเป็นรูป sine ก่อนก็ได้

3. สร้างระบบสมการอิทธิพลร่วม (Matrix Formulation):

โปรแกรมจะคำนวณอิทธิพลทางแม่เหล็กไฟฟ้าระหว่างทุกๆ Segment:

• กระแสใน Segment ที่ 1 ส่งสนามไปสร้างแรงดันตกคร่อม Segment ที่ 2 เท่าไร
• Segment ที่ 2 ส่งกลับมาหา Segment ที่ 1 เท่าไร
• ความสัมพันธ์ที่ยันกันไปยันมาทั้งหมด จะถูกเขียนประกอบขึ้นเป็น ระบบสมการเมทริกซ์อิมพีแดนซ์ [V] = [Z][I]
• [V] คือ แรงดันไฟฟ้าที่เราป้อน ณ จุด Feedpoint (Segment อื่นๆ ที่ไม่มีการป้อนไฟจะมีค่าเป็น 0)
• [Z] คือ เมทริกซ์อิมพีแดนซ์ที่คำนวณจากระยะห่าง ขนาด และมิติทางเรขาคณิตของทุก Segment
• [I] คือ กระแสไฟฟ้าในแต่ละ Segment ที่เรา "ต้องการหา"

4. แก้ระบบสมการด้วย MoM (Solving):

โปรแกรมจะใช้พีชคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra) คำนวณแก้เมทริกซ์ [I] = [Z]⁻¹[V] เพื่อหาค่ากระแสไฟฟ้าความถี่สูงที่แท้จริงในลวดทุกๆ Segment ออกมา

5. ประมวลผลลัพธ์ออกสู่หน้าจอ:

เมื่อรู้กระแสในทุก Segment แล้ว โปรแกรมจะนำกระแสเหล่านั้นไปคำนวณหาสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากแต่ละส่วนแล้วนำไปรวมกันในระยะไกลเพื่อวาดเป็น Radiation Pattern และนำกระแส ณ Segment ที่เป็นจุดป้อนไปคำนวณเป็นค่า Impedance และ SWR ต่อไป

ตัวอย่างการคำนวณอย่างง่ายโดยใช้ MoM  

หัวข้อนี้นับว่าเป็นเรื่องสำคัญ หลายคนได้แต่เคยได้ยินคำว่า Method of Moments (MoM) แต่ก็ไม่รู้ว่าคืออะไรแน่ พอเปิดหนังสือคณิตศาสตร์ชั้นสูงก็ดูจะเกินเลยที่จะทำความเข้าใจได้ง่าย  หรือหลายคนได้ยินคำว่า Method of Moments (MoM) แล้วอาจจะนึกไปถึงเรื่อง  โมเมนต์ของแรง  ในกลศาสตร์ (แรง⨯ระยะทาง) แต่ในทางคณิตศาสตร์และวิเคราะห์คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า Moment มีความหมายเฉพาะคือ การคูณกันของสองฟังก์ชั่น (แทนที่จะเป็นแรงกับระยะทาง) คือฟังก์ชันสมการของระบบกับฟังก์ชั่นทดสอบ (Testing/Weighting Function) แล้วอินทิเกรต เพื่อนำมาเฉลี่ยและเกลี่ยค่าความผิดพลาดให้กลายเป็นสมการตัวเลขที่คอมพิวเตอร์แก้ได้ 

และเป็นเพราะเรากำลังทำงานกับ ระบบสมการ คือมีหลายสมการ ดังนั้นจะเห็นว่าคำว่า moment ใน Method of Moments เติม s เป็นพหูพจน์ด้วย

เพื่อให้เห็นภาพกลอุบายทางคณิตศาสตร์ของ MoM โดยแยกความซับซ้อนของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกไปก่อน ลองดูตัวอย่างการหา ฟังก์ชันที่ไม่รู้ f(y) จากสมการอินทิกรัลสมมุติแบบง่ายตามตัวอย่างนี้: 

 ₀∫¹ (x+y) • f(y) dy = 1

สำหรับทุกๆ x ในช่วง [0, 1] 

สิ่งที่เราต้องการหาคือ: f(y) ว่าคือฟังก์ชันอะไร

ความยาก: ฟังก์ชัน f(y) ถูกซ่อนอยู่ข้างในอินทิเกรต (คล้ายกับกระแสสายอากาศที่ติดอยู่ในสมการของ Maxwell) แก้ด้วยมือตรงๆ ยากลำบากมาก

ขั้นตอนการแก้ด้วย Method of Moments (MoM) 

ขั้นที่ 1: แบ่งเป็นชิ้นย่อยและเดาฟังก์ชัน (Basis Functions)

ในเมื่อเราไม่รู้ว่า f(y) มีรูปร่างหน้าตาโค้งมนอย่างไร หลักการของ MoM บอกว่า ให้แบ่งช่วง y จาก 0 ถึง 1 ออกเป็นหลายท่อน (segment) ในตัวอย่างนี้แบ่งเป็น 2 ท่อน (2 Segments) แล้วเดาว่าเป็นค่าคงที่ c_1 กับ c_2 ซะเลย  ดังนั้น

f(y) ≈ (มีค่าประมาณ)
ท่อน1: c_1 {เมื่อ } y อยู่ในช่วง [0, 0.5)
ท่อน2: c_2 {เมื่อ } y อยู่ในช่วง [0.5, 1] 

นั่นคือ สิ่งที่เราต้องหาเหลือแค่ตัวเลข 2 ตัว คือ c_1 และ c_2 เท่านั้น ไม่ใช่หาสมการของฟังก์ชั่น f(y) เต็มรูป

ขั้นที่ 2: ทำ "Moments" เพื่อถัวเฉลี่ยความผิดพลาด (Testing & Integration)

สมการเดิมคือ

 ₀∫¹ (x+y) • f(y) dy = 1

เราจะทำการแทน f(y) ด้วย c_1 และ c_2 ไปเลย แล้วอินทิเกรตแยกตามช่วง:

₀∫^0.5 (x+y) • c_1 dy + _0.5∫¹ (x+y) • c_2 dy = 1 

เมื่อทำการอินทิเกรตออกมา (บวกลบคูณหารปกติ):

ชิ้นแรก:
c_1 • [xy+y²/2]₀^0.5  = c_1 • (0.5x+0.125)

ชิ้นสอง:
c_2 • [xy+y²/2]_0.5¹ = c_2 • (0.5x+0.375)

รวมกันจะได้สมการติด x ค้างอยู่:

(0.5x + 0.125) • c_1 + (0.5x + 0.375) • c_2 = 1

เนื่องจากสมการนี้ต้องเป็นจริง เราจึงสุ่มเลือกจุดทดสอบ x มา 2 จุด (เรียกว่า Point Matching / Collocation) เพื่อสร้าง 2 สมการ:

ทดสอบที่ x = 0.25:

(0.5(0.25) + 0.125) • c_1 + (0.5(0.25) + 0.375) • c_2 = 1

0.25 • c_1 + 0.50 • c_2 = 1

ทดสอบที่ x = 0.75:

(0.5(0.75) + 0.125) • c_1 + (0.5(0.75) + 0.375) • c_2 = 1 

0.50 • c_1 + 0.75 • c_2 = 1 

ขั้นที่ 3: จัดในรูปเมทริกซ์แล้วแก้สมการ (Matrix Solving)

เราจะสังเกตเห็นว่าสมการอินทิกรัลตั้งต้นถูกแปลงสภาพออกมาเป็น ระบบสมการเชิงเส้น [A][C] = [B] เรียบร้อยแล้ว:

ได้เมตริกซ์ 

แก้ระบบสมการ 2 ตัวแปรนี้ด้วยพีชคณิตพื้นฐาน (หรือการแก้ Matrix Inverse):

นำสมการที่ 1 ไปคูณ 2 จะได้:

0.50 c_1 + 1.00 c_2 = 2

ลบด้วยสมการที่ 2: 

(0.50 c_1 + 1.00 c_2) - (0.50 c_1 + 0.75 c_2) = 2 - 1

จะได้ 0.25 c_2 = 1 → c_2 = 4

แทน c_2 = 4 กลับลงในสมการแรก: 

0.25 c_1 + 0.50(4) =1

→ 0.25 c_1 = -1 → c_1 = -4

สรุปผลลัพธ์คณิตศาสตร์

คำตอบที่เราหาได้คือ:

c_1 = -4 

c_2 = 4

หมายความว่า ฟังก์ชัน f(y) ที่เราพยายามหาคำตอบ คือฟังก์ชันที่มีค่าประมาณ -4 ในท่อนแรก (0 ≤ y ≤ 0.5) และมีค่า +4 ในท่อนที่สอง (0.5 ≤ y ≤ 1)

เปรียบเทียบตารางความเชื่อมโยงสู่สายอากาศ

ในการคำนวณจริงๆ ในโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศก็ทำในลักษณะเดียวกันนี้ เพียงแต่จำนวนท่อนที่เราแบ่งออกอาจจะมากกว่ากันเยอะ ทำให้การคำนวณละเอียดขึ้น 

สรุป  

โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศไม่ได้ใช้วิธีลึกลับหรือนั่งเดาคำตอบ (แบบสุ่ม) แต่มันคือการประยุกต์ใช้ Method of Moments (MoM) ซึ่งเป็นกลอุบายทางคณิตศาสตร์อันชาญฉลาด ในการแปลง สมการอินทิกรัลทางแม่เหล็กไฟฟ้าอันซับซ้อนจนแก้ด้วยมือไม่ได้ ให้กลายเป็น ระบบสมการเมทริกซ์เชิงเส้นที่คอมพิวเตอร์บวกลบคูณหารได้อย่างรวดเร็ว

ด้วยวิธีแบ่งเส้นลวดโลหะสายอากาศเป็นส่วนเล็กๆ (Segments) แล้วคำนวณแรงดันและกระแสที่ส่งอิทธิพลต่อกันไปยันมาระหว่างทุกๆ ท่อน จนได้สภาวะสมดุลที่เป็นจริงทางฟิสิกส์ ทำให้เราสามารถล่วงรู้ค่า SWR, อิมพีแดนซ์ และรูปทรงการแผ่กระจายคลื่นของสายอากาศได้อย่างแม่นยำ

การเข้าใจหลักการทำงานของ MoM ไม่เพียงช่วยให้เราใช้งานโปรแกรมจำลองสายอากาศได้อย่างมีประสิทธิภาพและตั้งค่าได้อย่างถูกต้องเท่านั้น แต่ยังทำให้เรามองเห็น "ปัญญาทางคณิตศาสตร์และวิศวกรรม" ที่ซ่อนอยู่เบื้องหลังหน้าจอคอมพิวเตอร์ทุกครั้งที่เรากดปุ่มวิเคราะห์สายอากาศครับ

---

ภาคผนวก 1   

สมการอินทิกรัลที่โปรแกรมใช้แก้ปัญหาที่ว่ายากนั้นเรียกว่า EFIE (Electric Field Integral Equation) ซึ่งอธิบายว่า กระแสไฟฟ้าบนท่อนลวดท่อนหนึ่ง ส่งสนามแม่เหล็กไฟฟ้าไปรบกวนและเหนี่ยวนำท่อนลวดอื่นๆ อย่างไรและตั้งอยู่บนเงื่อนไขทางกายภาพ (Boundary Condition) ที่ว่าสนามไฟฟ้ารวมแนวสัมผัสบนผิวตัวนำต้องเป็นศูนย์เสมอ เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ดั้งเดิมที่เราต้องแก้ (และ แก้ด้วยมือไม่ไหว) 

รูปที่ 3 รูปที่ 3 แสดงกลไกการส่งอิทธิพลของ

สนามไฟฟ้ากระเจิง (Es) จากท่อนลวดกำเนิด (j)

ไปยังท่อนลวดสังเกต (i) ผ่านระยะทาง r_ij 

โดยใช้นำเงื่อนไขขอบเขตทางฟิสิกส์ (Boundary 

Condition บน PEC) ที่ว่าสนามไฟฟ้ารวมบน

ผิวตัวนำต้องเป็นศูนย์ มาสร้างเป็นระบบสมการ

เพื่อหากระแสไฟฟ้าในแต่ละท่อน (segment)

การทำงาน: 

• ดูรูปที่ 3 ประกอบ 
• เมื่อเราป้อนพลังงานเข้าไปที่จุดป้อน (Feedpoint) ลวดสายอากาศจะเริ่มมีกระแสไหลและแผ่สนามไฟฟ้าออกมา 
• Source Segment (j): เมื่อมีกระแสไฟฟ้า I_j ไหลผ่านท่อนที่ j มันจะทำตัวเป็นสายอากาศจิ๋ว แผ่สนามไฟฟ้า Es_j ออกไปรอบทิศทางในอากาศ
• Observation Segment (i): สนามไฟฟ้าที่แผ่ออกมานี้ จะเดินทางผ่านระยะทาง r_ij ไปตกกระทบผิวของท่อนลวดที่ i
• Green's Function (ตัวเชื่อมระยะทาง): ความแรงของสนามที่เดินทางไปถึงท่อนที่ i จะถูกคำนวณผ่านฟังก์ชันที่เรียกว่า Green's Function  ซึ่งบอกว่ายิ่งท่อนลวดอยู่ห่างกัน สนามจะยิ่งหน่วงเฟสและอ่อนกำลังลงตามระยะทาง r_ij 

• สร้างสมการจากกฎฟิสิกส์ (Boundary Condition) ที่ว่าบนผิวตัวนำสมบูรณ์ (PEC) ผลรวมของสนามไฟฟ้ารวมบนผิวโลหะต้องเป็นศูนย์เสมอ E_total = 0  

Einc_i + Es_i = 0 
Einc_i คือ สนามไฟฟ้าป้อนเข้า (มาจากแหล่งจ่ายไฟ Feedpoint ถ้าท่อนนั้นไม่ใช่จุดป้อน ค่านี้จะเป็น 0) 
Es_i คือ สนามไฟฟ้ากระเจิง (Scattered Field) ซึ่งเกิดจากการรวมผลของกระแสจาก ทุกๆ ท่อน (j=1 ถึง N) ที่ส่งกลับมารวมกัน ณ ท่อนที่ i:

• ระบบสมการเมทริกซ์ [V] = [Z][I] นำเงื่อนไขของทุกๆ Segment มาจัดเรียงเข้าด้วยกัน เราจะได้ระบบสมการที่ยันกันไปยันมา 

Z_ii (Self-Impedance) คืออิทธิพลที่ท่อนตัวเองสร้างสนามขึ้นมาต้านกระแสตัวเอง
Z_ij (Mutual Impedance) คืออิทธิพลทางแม่เหล็กไฟฟ้าข้ามท่อน จากท่อน j ส่งมายังท่อน i

• เทคนิค MoM จึงรับหน้าที่แปลงสมการ EFIE ที่ซับซ้อนนี้ ให้กลายเป็นเมทริกซ์อิมพีแดนซ์ [Z]  เพื่อให้คอมพิวเตอร์หาค่ากระแส [I] = [Z]^-1 [V] ได้อย่างแม่นยำนั่นเอง

พูดง่ายๆ คือ โปรแกรมอย่าง EZNEC (ที่ใช้ MoM) ใช้เงื่อนไขของกระแสและสนามย้อนกลับมาคำนวณว่า "กระแสไฟฟ้า (I) บนลวดแต่ละ Segment ต้องมีค่าเท่าไหร่ ถึงจะสร้างสนาม (scattered) ออกมาได้หักล้างกับสนามป้อนเข้า (incident) ได้พอดิบพอดีทุกจุด" และเอาเทคนิค MoM มาช่วยแปลงสมการ EFIE ตัวนี้ ให้กลายเป็นเมทริกซ์ [V]=[Z][I] เพื่อหาค่ากระแส [I] นั่นเอง

ภาคผนวก 2  

โปรแกรมจำลองสายอากาศลวดส่วนใหญ่ในโลก (รวมถึง EZNEC) ไม่ได้เขียนเครื่องจักร (engine) คำนวณขึ้นมาใหม่เองทั้งหมด แต่สร้างหน้าตาโปรแกรมครอบลงบนเครื่องจักรการคำนวณระดับตำนานอย่าง NEC (Numerical Electromagnetics Code) ซึ่งเป็นซอฟต์แวร์มาตรฐานที่ใช้ MoM ในการแก้สมการ EFIE มายาวนานหลายทศวรรษแล้ว

NEC ไม่ใช่ชื่อโปรแกรมที่มีหน้าตาไว้ให้เรากดวาดรูปสายอากาศ แต่เป็น ชุดรหัส/เครื่องจักรเพื่อการคำนวณ (Calculation Engine)" ที่ถูกเขียนขึ้นตั้งแต่ยุค 1970s–1980s โดยห้องปฏิบัติการ Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL) ร่วมกับกองทัพสหรัฐฯ

วิวัฒนาการ: 

NEC-2: เป็นเวอร์ชันสาธารณะ (Public Domain) ที่ฮิตที่สุด ใช้โค้ดภาษา FORTRAN ซึ่งคำนวณสายอากาศลวดในอวกาศและบนพื้นดินอุดมคติได้แม่นยำมาก

NEC-4 / NEC-5: เวอร์ชันพัฒนาต่อยอดที่แม่นยำขึ้นสำหรับลวดที่ฝังใต้ดินหรือตัวนำที่มีขนาดต่างกันมาก (แต่มีลิขสิทธิ์)

เชื่อมโยงกับ EZNEC: โปรแกรมอย่าง EZNEC, 4NEC2, หรือ MMANA ที่เราใช้กันหน้าตาสวยงาม มี GUI ให้วาดลวดและดูภาพ 3D นั้น แท้จริงแล้วเป็นเพียง "หน้าต่างติดต่อผู้ใช้ (Front-end)"

เวลาเรากด "Calculate" โปรแกรมหน้าบ้านจะส่งพิกัดลวดไปให้ NEC Engine ที่ซ่อนอยู่หลังบ้าน

เจ้า NEC Engine นี้แหละที่ใช้เทคนิค MoM แก้สมการ EFIE แล้วส่งผลลัพธ์กระแสและ Pattern กลับมาแสดงผลบนหน้าจอให้เราเห็นและนำไปใช้งานต่อไป  ดูรูปที่ 4 

รูปที่ 4 หน้าบ้านและหลังบ้านของโปรแกรม

ภายในบ้านเป็นเครื่องจักรคำนวณ NEC engine

ที่รับหน้าที่คำนวณหากระแสที่แต่ละส่วนเล็กๆ

บนโลหะสายอากาศจริงๆ

---

©Jitrayut Chunnabhata, 2026.

This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is not permitted without prior permission. 

© 2026 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ

เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และไม่อนุญาตให้คัดลอกหรือเผยแพร่ซ้ำโดยตรงโดยไม่ได้รับอนุญาต