ทำไมกระแสในสาย Coaxial ต้องมีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม: กลไกของกระแสที่ผิวและการกักเก็บสนามในสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม

Surface Current Mechanism and Field Confinement in Coaxial Transimission Lines: Why Currents Must Be Equal and Opposite

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)

---

สายนำสัญญาณแบบแกนร่วมหรือที่เราเรียกว่าสายนำสัญญาณแบบโคแอกเชียล (coaxial transmission line) เป็นสายนำสัญญาณที่เป็นที่นิยมเนื่องจากติดตั้งง่าย มีความสามารถโดดเด่นคือป้องกันสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเข้าออกจากสายนำสัญญาณได้ และเป็นที่ยอมรับ (และเป็นจริง) กันว่าที่หน้าตัดหนึ่งๆ กระแสที่แกนกลางมีขนาดเท่ากับกระแสที่ผิวด้านในของชีลด์ของมันแต่มีทิศทางตรงกันข้ามกันเสมอ ซึ่งเรื่องหลังสุดนี้มีคำอธิบายหลากหลาย แต่คำอธิบายส่วนใหญ่รวบรัดและข้ามขั้นตอนของกลไกทางแม่เหล็กไฟฟ้าจริงๆ ที่เกิดขึ้นในสายนำสัญญาณแบบนี้ไปซึ่งอาจจะเป็นสาระสำคัญได้  ในบทความนี้เราจะดูอย่างละเอียด เป็นลำดับขั้นตอนถึงสิ่งที่เกิดขึ้น จนอธิบายได้ว่าสิ่งที่เราเห็นได้ มีที่มาจริงๆ อย่างไร 

สายนำสัญญาณแบบแกนร่วม 

ก่อนอื่นเราทำความรู้จักกับคลื่นในสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมหรือ coaxial transmission line กันก่อน ในสายนำสัญญาณนี้ คลื่นจะเคลื่อนที่ในฉนวนระหว่างตัวนำแกนกลางและชีลด์ของมันโดยมีตัวนำไฟฟ้าให้คลื่น "เกาะ" โดยมีโวลเตจและกระแสไฟฟ้าความถี่สูงปรากฏอยู่บนตัวนำทั้งสอง  ด้วยลักษณะโครงสร้างทางกายภาพ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีตัวนำไฟฟ้าสองชิ้น) คลื่นในสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมจะเป็นคลื่นที่สนามแม่เหล็กและไฟฟ้าขวางกับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น เรียกว่า Transverse Electromagnetic Wave (TEM wave)  ดูรูปที่ 1

รูปที่ 1 (a) คลื่นในสายนำสัญญาณแบบ
แกนร่วมเป็นแบบ TEM สนามไฟฟ้า
ตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กและตั้งฉาก
กับทิศทางเคลื่นที่ของคลื่น  และสนาม
แม่เหล็กวนเป็นวงรอบแกนกลาง (H_φ)
(b) กระแสที่แกนกลางและทิศทางที่
คลื่นเดินทางพุ่งออกจากหน้ากระดาษ

จากรูปที่ 1 จะเห็นว่าเส้นแรงแม่เหล็กอยู่แนวเส้นรอบวงของแกนกลาง (ตามกฏมือขวา)  สนามไฟฟ้าอยู่ทิศรัศมี และกระแสไฟฟ้าความถี่สูง (I_c) ไหลตาม(ผิว)ของแกนกลางและผิวด้านในของชีลด์ (I_s) 

ประเด็นสำคัญที่บทความนี้พิจารณาคือทำไมกระแสไฟฟ้าความถี่สูง I_c  และ I_s จึงมีค่าเท่ากัน

คำอธิบายทั่วไปเกี่ยวกับสายนำสัญญาณ Coaxial 

เนื่องจากโครงสร้างของสายนำสัญญาณมีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเดินทางอยู่ และมีรอยต่อระหว่างฉนวน (ระหว่างตัวนำแกนกลางและชีลด์ของสายนำสัญญาณ) กับโลหะ คำอธิบายทั่วไปคือถือว่าโลหะที่ใช้ทำสายนำสัญญาณเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ (Perfect Electric Conductor: PEC)  ซึ่งมีเงื่อนไขขอบเขตแสดงดังในตารางที่ 1 

ตารางที่ 1 เงื่อนไขขอบเขต (boundary
condition) ระหว่างฉนวนและตัวนำ
ไฟฟ้าสมบูรณ์ (PEC)

ในลักษณะคลื่นแบบ TEM ในสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม ที่ถือว่าโลหะเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์

• สนามแม่เหล็กอยุ่ในแนว H_φ เท่านั้น 
• จึงไม่มีแนวของสนามแม่เหล็กในทิศตั้งฉากกับผิวตัวนำด้านในของชีลด์ (นั่นคือ Hn = 0) 
• มีแต่สนามไฟฟ้าในแนวสัมผัสกับผิวของตัวนำด้านในของชีลด์ (Ht)  
• เพราะโลหะเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์สนามไฟฟ้าและแม่เหล็กไม่สามารถแทรกเข้าในเนื้อโลหะได้
• สนามแม่เหล็กจึงไม่สามารถหลุดรอดออกมานอกสายนำสัญญาณได้ 
• ส่วนต่างของขนาดของสนามแม่เหล็กในแนวสัมผัสกับผิวของตัวนำด้านในของชีลด์ (Ht) กับลึกลงไปในตัวนำชีลด์ (ซึ่งเป็น 0 เพราะสนามแม่เหล็กแทรกเข้าไปไม่ได้เลย) คือ Js 
• Js เป็นความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า RF ที่ผิวด้านในของชีลด์

ดูรูปที่ 2

รูปที่ 2 สมมติว่าโลหะที่ใช้ทำสาย
นำสัญญาณเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์
สนามแม่เหล็กจะแทรกลงในโลหะ
ชีลด์ไม่ได้เลย นั่นคือไม่สามารถมี
สนามแม่เหล็กอยู่ด้านนอกของ
สายนำสัญญาณได้

ดังนั้นสนามแม่เหล็กภายนอกสายนำสัญญาณ
Houtside = 0 

จากกฎของแอมแปร์  
I _enclosed = ∮_c H • dℓ  ---------(1)

เมื่อ H  = 0 ทำให้ I _enclosed = 0
ซึ่งเป็นไปได้กรณีเดียวคือ Iinner = Iouter แต่กลับทิศทางกัน หรือ

I_c  =  -I_s  -----------(2) 

I_c คือกระแสที่ไหลที่ (ผิวของ) แกนกลางของสายนำสัญญาณ
I_s คือกระแสที่ไหลที่ (ผิวด้านในของ) ชีลด์ของสายนำสัญญาณ

สมการ (2) คือสิ่งที่เราสนใจและพิสูจน์ว่าจริง  คำอธิบายด้านบนถือว่าถูกต้องถ้าตัวนำที่ใช้ทำสายนำสัญญาณเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ (Perfect Electrical Conductor) ความนำไฟฟ้าจำเพาะของตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ σ = ∞, ความลึกจากผิวโลหะที่กระแสไฟฟ้าเดินทาง skin depth δ = 0   สิ่งที่ตามมาจึงง่ายมากคือไม่มีสนามแม่เหล็ก H ในตัวนำชีลด์เลย นั่นคือชีลด์จะกันสนามแม่เหล็กไม่ให้ทะลุได้สมบูรณ์ทั้งกรณี static field (f=0Hz) และ time-varying field  ตามเงื่อนไขขอบเขตในตารางที่ 1 ทำให้สนามแม่เหล็กภายนอกเป็น 0 เสมอ

ข้อดีของการอธิบายแบบนี้คือง่าย พอใช้งานได้ในสภาพทั่วไป แต่ไม่สมบูรณ์และข้ามขั้นตอนสำคัญหลายขั้น โดยเฉพาะไม่อธิบายกลไกที่แท้จริงที่เกิดขึ้น

เมื่อตัวนำไฟฟ้าที่เราใช้จริงในสายนำสัญญาณไม่ว่าจะเป็น ทองแดง อลูมิเนียม ไม่ได้เป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์  เหตุผลที่บอกว่าสนามแม่เหล็กภายนอกสาย coaxial ถึง = 0  นั่นจึงฟังขัดแย้งกันหรือเหมือนเป็นผลของอะไรหลายอย่างที่ถูกข้ามไปและเราไม่ได้พิจารณามันเลย 

กลไกที่แท้จริงที่เกิดขึ้นในสายนำสัญญาณ Coaxial 

ในความเป็นจริงแล้ว แทบไม่มีตัวนำไฟฟ้าใดที่เป็นตัวนำสมบูรณ์ (Perfect Electrical Conductor) นั่นคือความนำไฟฟ้าจำเพราะของโลหะก็ไม่ใช่ค่าอนันต์ (σ ≠ ∞) ทำให้

ความลึกผิว (δ) ซึ่งเป็นระยะที่กระแสไฟฟ้าใช้เนื้อของตัวนำในการนำกระแส:
δ = √ (1 / π f μ σ)  ----------------(3) 
δ > 0 เมื่อ σ ≠ ∞ 

และสนามแม่เหล็กและไฟฟ้าสามารถแทรกลงไปในเนื้อโลหะได้ นั่นคือสามารถมี H และ E ในเนื้อโลหะได้ที่ความลึกหนึ่งและค่อยๆ ลดลงไปเมื่อความลึกเพิ่มขึ้น เงื่อนไขขอบเขต (Boundary condition) ระหว่างฉนวนและโลหะตัวนำจริง (Read Electric Conductor) เมื่อมีคลื่นเดินทางในบริเวณรอยต่อ (Time-Varying condition) แสดงดังในตารางที่ 2

ตารางที่ 2 เงื่อนไขขอบเขตระหว่าง
ฉนวนและโลหะตัวนำจริง จะเห็นว่า
ในเนื้อของโลหะมีสนามไฟฟ้าและ
แม่เหล็กได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
บริเวณใกล้ขอบเขตรอยต่อ

เมื่อมีคลื่น TEM เดินทางในสายนำสัญญาณที่โลหะไม่ใช่ตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์:

• I_c ที่แกนกลางไม่เป็น 0 (และเป็น time-varying คือเปลี่ยนตามเวลาและมีความถี่)  
• ความเข้มสนามแม่เหล็กทิศตั้งฉากกับโลหะ Hn ที่รอยต่อระหว่างฉนวนกับผิวชีลด์ด้านในของสายนำสัญญาณ = 0  เพราะตามกฏมือขวาแล้วกระแส I_c สามารถสร้างสนามแม่เหล็กในทิศ H_φ ได้เท่านั้นและตั้งฉากกับ Hn 
• ความเข้มสนามแม่เหล็กทิศสัมผัสกับโลหะ Ht อยู่ในทิศสนามแม่เหล็ก H_φ และ ≠  0  
• จากเงื่อนไขขอบเขตระหว่างฉนวนกับโลหะจริง (REC) สนามแม่เหล็ก Ht สามรถแทรกลงไปในโลหะชีลด์ที่ใกล้กับ interface ≠ 0 ได้ 
• ที่ระยะตื้นๆ ของผิวโลหะด้านในของชีลด์ มีการเปลี่ยนแปลงของ Ht ตามเวลา

ความหนาแน่นสนามแม่เหล็ก 
Bt = μHt  ------------(4) 
∂Bt/∂t ≠ 0 เนื่องจากสนามแม่เหล็กและความเข้มสนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลงตามเวลา 

Faraday's Law:

∇×E = - ∂B/∂t  ---------(5) 

• นั่นคือมีสนามไฟฟ้า E ถูกสร้างขึ้นตามกฏของฟาราเดย์ (Faraday's Law)  
• สนามไฟฟ้า E นี้สร้างกระแสในทิศสัมผัส Jt = σE  
• กระแส Jt  สร้างสนามแม่เหล็กของตัวเองในทิศทางต้านสนามแม่เหล็ก Ht เดิมที่พยายามแพร่เข้ามาในตัวนำชีลด์ (นี่คือหลักการจริงๆ ของ skin effect / diffusion) 
• ในสภาวะสมดุล จะเกิดกระแสบนผิวด้านในของชีลด์ที่เป็นผลการรวมกระแส Jt ที่กระจายอยู่ให้กลายเป็นแผ่นกระแส Js  (นั่นคือ Js เป็นผลจากขั้นตอนทั้งหลายที่เกิดขึ้น) และทิศทาง Js จะตรงกันข้ามกับกระแส I_c บนตัวนำแกนกลาง 
• กระแสรวมที่เกิดขึ้นที่ผิวด้านในของชีลด์ (รวมถึงลึกลงไปเล็กน้อย) Js มีขนาดรวมเป็น I_s 
• ความลึกที่สนามแม่เหล็กแทรกเข้าไปในเนื้อโลหะชีลด์ได้คือ 

|H(x)| = |H(0)| e^-x/δ --------------(6) 

• หากโลหะชีลด์มีความหนากว่าความลึกผิว (δ) มากพอควร (เช่น 5 เท่า) ความเข้มสนามแม่เหล็กจะลดลงจนไม่เหลือสนามแม่เหล็กที่จะทะลุชีลด์ออกมาด้านนอก  

Houtside = 0 

และเช่นเดียวกับ (1)  ทำให้ 
I_c  =  -I_s  -----------(7) 
เช่นกัน 

นั่นคือ กระแสบนผิวด้านในของชีลด์ (I_s) ไม่ใช่สิ่งที่ถูกบังคับให้เท่ากัน แต่เป็นผลลัพธ์ที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของการที่สนามแม่เหล็กหลุดไปข้างนอกสายนำสัญญาณไม่ได้  กลไกที่เกิดขึ้นทั้งหมดแสดงได้ใน รูปที่ 3

รูปที่ 3 เมื่อโลหะในสายนำสัญญาณไม่ใช่
ตัวนำสมบูรณ์ สนามแม่เหล็ก Ht จะแทรก

เข้าในผิวชีลด์ได้ และเกิดสนามไฟฟ้า E ที่
สร้างกระแส Jt ที่ไปสร้างสนามแม่เหล็ก Hi
เพื่อต้านการเปลี่ยนแปลงของ Ht จนสมดุล

เราพลาดอะไรไปบ้าง  

ถ้าเราเปรียบเทียบการอธิบายสองวิธีในหัวข้อ คำอธิบายทั่วไปเกี่ยวกับสายนำสัญญาณ Coaxial กับ กลไกที่แท้จริงที่เกิดขึ้นในสายนำสัญญาณ Coaxial  ที่ผ่านมา จะเห็นว่าวิธีแรก (อนุมานว่าโลหะในสายนำสัญญาณเป็น PEC) นั้นเรียบง่ายแต่เพราะ PEC มีความนำไฟฟ้าจำเพาะ (σ)  เป็นอนันต์  ทำให้ความลึกผิว (skin depth) เป็น 0  และความต้านทานจำเพาะเป็นเข้าใกล้ 0   คำนวณได้จาก:

ความลึกผิว 
δ = √ (1 / π f μ σ)  ----------(7) 
เมื่อ σ → ∞ , δ → 0  

ความต้านทานจำเพาะ
Rs = √ (ω μ / 2 σ) ----------(8)
ดังนั้นแม้ δ → 0 แต่เพราะ σ → ∞ ทำให้  Rs → 0  
(คือ σ มีอิทธิพลโดยรวมมากกว่า) 

นั่นคือในตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ (PEC) ไม่ว่าชีลด์จะบางแค่ไหน ความถี่จะต่ำเพียงใด สนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะไม่หลุดออกมาภายนอกสายนำสัญญาณได้ ดูตารางที่ 3 

ตารางที่ 3 เมื่อเราอนุมานว่าโลหะใน
สายนำสัญญาณเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์
สาย coaxial จะป้องกันสนามแม่เหล็ก
ไม่ให้รั่วไหลออกไปได้เสมอ

แต่ในความเป็นจริง ตัวนำไฟฟ้าที่ใช้ทำสายนำสัญญาณไม่ใช่ตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ (PEC) แต่เป็น ตัวนำไฟฟ้าจริง (Real Electric Conductor, REC) 

σ ≠ ∞  
δ ≠ 0  
และ 
|H(x)| = |H(0)| e^-x/δ  ----------(6)

นั่นคือ |H(0+)| ≠ 0  สนามแม่เหล็กสามารถแพร่เข้าไปในโลหะชีลด์ได้ แล้วค่อยๆ ลดลงแบบ exponentially decay จึงเกิดคำถามว่า ถ้าความถี่ และ/หรือ ความนำไฟฟ้าจำเพาะ  (σ) เปลี่ยนไป โดยที่ ความหนาของชีลด์ของสายนำสัญญาณเปลี่ยนไป จะเกิดอะไรขึ้นบ้าง  ดูตารางที่ 4 

ตารางที่  4 ในสายนำสัญญาณแกนร่วม
ที่โลหะที่ใช้ทำไม่ใช่ตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์
ความสามารถในการป้องกันสนามแม่เหล็ก
และการสูญเสียจากตัวนำ ขึ้นอยู่กับปัจจัย
หลายอย่างเช่น σ, δ, f, และความหนาชีลด์

ซึ่งทั้งหมดสามารถคำนวณได้จากสมการ (7) และ (8) จะเห็นชัดเจนว่าความสามารถในการป้องกันสนามรั่วไหล โดยเฉพาะสนามแม่เหล็กนั้นขึ้นกับตัวแปรหลายอย่างของสายนำสัญญาณเองรวมทั้งความถี่ที่ใช้ด้วย  โดยความสามารถในการป้องกันสนามแม่เหล็กจะวิกฤตเมื่อ ความหนาของชีลด์ ≤ δ คือขนาดของสนามแม่เหล็กที่ด้านนอกของชีลด์ยังเหลืออยู่ 37% ของขนาดด้านใน 

จุดพบกันระหว่างตัวนำ PEC กับ REC อยู่ตรงไหน   

สมมติว่าวัสดุโลหะจริง (REC) ที่ใช้ทำชีลด์ของสายนำสัญญาณมีความนำไฟฟ้าสูงขึ้น จะเกิดอะไรขึ้น 

σ สูงขึ้น 
δ บางลง 
∂B/∂t , สนามไฟฟ้า E, Jt = σE 
เกิด Ht แพร่ลงไปในเนื้อโลหะ 
ทั้งหมดจะเกิดขึ้นที่บริเวณใกล้ผิวด้านในของตัวนำชีลด์มากขึ้น (ตื้นขึ้น) 

จนกระทั่ง 
σ  → ∞     
δ  → 0 
Jt ถูกบีบให้อยู่ที่ผิวเท่านั้น (กลายเป็น Js) 
กิจกรรมทุกอย่างจะอยู่ที่ผิวด้านในของตัวนำที่เป็นชีลด์ของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม จนสนามแม่เหล็ก H ไม่สามารถแทรกซึมเข้าไปในตัวนำได้เลย และกลายเป็นสภาพของตัวนำแบบ PEC นั่นเอง

นั่นคือ:

ในโลกความจริง โลหะไม่ใช่ตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ (REC):

• สนามแม่เหล็กมีการแทรกซึมลงในเนื้อโลหะ
• เกิดสนามไฟฟ้าในทิศทางต่อต้าน
• เกิด Jt ในทิศทางต้านสนามแม่เหล็กสัมผัส
• ค่อยหักล้างกับสนามแม่เหล็กสัมผัส 
• เกิด Js ที่ผิวด้านในของชีลด์ในทิศทางตรงกันข้ามกับกระแสที่แกนกลาง

ในโลกอุดมคติ โลหะเป็นตัวนำไฟฟ้าสมบูรณ์ (PEC): 

• สนามแม่เหล็กแทรกซึมลงในเนื้อโลหะไม่ได้เลย 
• กิจกรรมสนามไฟฟ้า กระแสต่อต้าน เกิดที่ผิวด้านในของชีลด์ทั้งหมด
• ไม่มี exponentially decay ของสนามแม่เหล็กในเนื้อโลหะชีลด์
• เกิด Js อันเป็นผลจากความต่างของสนามแม่เหล็กที่ผิวสัมผัส (finite) กับด้านในของโลหะ (0)

สรุป 

• มีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial transmission line) หลายประการเช่น สาย coaxial กันสนามแม่เหล็กไฟฟ้าได้เสมอ หรือ สาย coaxial กันสนามแม่เหล็กไฟฟ้าได้เพราะมีโลหะล้อมรอบ ซึ่งไม่ถูกทั้งหมด  จริงๆ แล้วมีกลไกทางแม่เหล็กไฟฟ้าหลายขั้นตอนที่ทำให้สายนำสัญญาณนี้ป้องกันสนามแม่เหล็กได้
• การที่กระแสที่แกนกลางและผิวในของชีลด์เท่ากันแต่ทิศตรงกันข้ามเสมอนั้น ไม่ใช่กฏ แต่เป็นผลที่ถูกบังคับด้วยคุณสมบัติของ geometry ของสายนำสัญญาณ, เงื่อนไขที่รอยต่อระหว่างฉนวนและตัวนำที่ใช้ทำ และพฤติกรรมตามธรรมชาติของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายในสายนำสัญญาณแบบ coaxial 
• คำอธิบายทั่วไปของสายนำสัญญาณชนิดนี้คือ โลหะเป็นตัวนำสมบูรณ์ (PEC) ซึ่งสนามแม่เหล็กไม่สามารถซึมเข้าเนื้อโลหะชีลด์ได้เลย จึงหลุดออกมาภายนอกไม่ได้ จากนั้นตามกฏของแอมแปร์ทำให้กระแสที่ไหลในแกนกับผิวด้านในของชีลด์จะต้องเท่ากันแต่ทิศทางหักล้างกัน (ตรงกันข้ามกัน) 
• แต่คำอธิบายง่ายๆ (PEC) นี้ไม่ตรงกับความจริงและข้ามรายละเอียดไปมาก ในสายนำสัญญาณจริงๆ ตัวนำไม่ใช่ตัวนำสมบูรณ์แต่เป็นตัวนำจริง (REC) สนามแม่เหล็กสามารถแทรกลึกลงไปใต้ผิวชีลด์ด้านในของสายนำสัญญาณได้ สนามแม่เหล็กนี้เปลี่ยนแปลงตามเวลาจึงสร้างสนามไฟฟ้าและกระแสเล็กๆ ขึ้น กระแสไฟฟ้านี้จะสร้างสนามแม่เหล็กในทิศต่อต้านสนามแม่เหล็กต้นทาง และค่อยๆ มีความเข้มลดลงเมื่อลึกลงไปในผิวตัวนำ และจะเกิดสมดุลที่กระแสและความลึกค่าหนึ่ง โดยหลักแล้วความลึกในการแทรกลงไปขึ้นกับความนำไฟฟ้าจำเพาะของโลหะและความถี่ (เมื่อ permeability คงที่ประมาณ μ0) ซึ่งในสภาพสมดุลแล้วจะทำให้เกิดกระแสที่ผิวด้านในของสายนำสัญญาณขนาดรวมเท่ากับกระแสที่แกนกลาง แต่ทิศทางตรงกันข้ามกัน 
• การเข้าใจในกลไกที่เกิดขึ้นจริง ทำให้เราเข้าใจว่า ถ้าความถี่ต่ำ และ/หรือ สายนำสัญญาณทำจากโลหะที่ความนำไฟฟ้าไม่สูงพอ และ/หรือ ความหนาของชีลด์น้อยเกินไป จะทำให้มีสนามแม่เหล็กหลุดออกมาด้านนอกได้ และนั่นคือกระแสที่ผิวด้านในของสายนำสัญญาณมีขนาดโดยรวมไม่เท่ากับกระแสที่แกนกลางของสายได้ และเนื่องจากการลดลงของสนามแม่เหล็กที่แทรกเข้าในโลหะชีลด์เป็นแบบ exponential decay นั่นคือถ้าชีลด์บางกว่าระยะความลึกผิว (δ) ก็อาจจะมีสนามแม่เหล็กไฟฟ้าหลุดรอดออกมาได้  

---

©Jitrayut Chunnabhata, 2026.

This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is not permitted without prior permission. 

© 2026 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ

เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และไม่อนุญาตให้คัดลอกเผยแพร่ซ้ำโดยตรงโดยไม่ได้รับอนุญาต

ความต้านทานเฉพาะตัวของสายนำสัญญาณโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากเรขาคณิตของมัน

Field-Based Interpretation of Transmission Line Characteristic Impedance

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer
Former Senior Member of Technical Staff (Semiconductor Industry)
Independent Researcher in Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)

---

สายนำสัญญาณที่ทำหน้าที่ส่งพลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากอุปกรณ์หนึ่งไปยังอุปกรณ์อื่นมีหลายชนิด หนึ่งในนั้นคือสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมหรือ Coaxial Transmission Line  คุณสมบัติสำคัญหนึ่งของมันคือ อิมพิแดนซ์เฉพาะตัว (Characteristic Impedance) ที่บอกอัตราส่วนของโวลเตจและกระแสที่จุดหนึ่งๆ บนสายว่าเป็นเท่าไร มีวิธีการหลายอย่างในการคำนวณหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัว วิธีหนึ่งที่คุ้นเคยคือใช้วงจรเสมือนทางไฟฟ้า ซึ่งเมื่อวิเคราะห์ต่อจึงจะเห็นว่าอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของมันขึ้นอยู่กับสัดส่วนรูปร่างของสายนำสัญญาณและฉนวนภายในของมัน  แต่บทความนี้จะอธิบายการหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณโดยตรงจากคุณสมบัติของฉนวนภายในและเรขาคณิตคือขนาดของตัวนำแกนกลางและตัวนำปลอกชีลด์ของสายนำสัญญาณโดยไม่ใช้วงจรเสมือนทางไฟฟ้า   วิธีการเช่นนี้ทำให้เราเข้าใจองค์ประกอบที่ทำให้เกิดอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมนี้ได้ชัดเจนและเป็นธรรมชาติกว่ามาก  ในบทความนี้ถือว่าคลื่นในสายนำสัญญาณแบแกนร่วมที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในโหมด TEM (Transverse Electromagnetic) ซึ่งเป็นโหมดหลักของสายนำสัญญาณชนิดนี้อยู่แล้ว 

สายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial transmission line)

เป็นสายนำสัญญาณแบบไม่สมมาตร (unbalanced line) คือรูปร่างของมันประกอบไปด้วยโลหะสองส่วน แต่ละส่วนมีลักษณะไม่เหมือนกัน คือเป็นแกนกลางและปลอกชีลด์ (ต่างจากสายนำสัญญาณแบบตัวนำคู่หรือสายแบนหรือ twin-lead transmission line ที่สมมาตรมีตัวนำทั้งสองลักษณะเหมือนกัน อาจะเรียกได้ว่าเป็น balanced line) และสัญญาณที่อยู่ในสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมเองก็ไม่สมมาตรคือมีปลอกชีลด์เป็นจุดอ้างอิงทางไฟฟ้า 0 โวลท์ แต่ด้วยความสามารถในการป้องกันสนามแม่เหล็กไฟฟ้ารั่วไหลหรือเข้าไปรบกวนได้ดี การติดตั้งทำได้ง่ายให้ต้องระวังเรื่องการรบกวนจากโลหะหรือสายไฟอื่นใกล้เคียง จึงทำให้เป็นที่นิยม ดูรูปที่ 1 

รูปที่ 1 ลักษณะของสายนำสัญญาณ
แบบแกนร่วม (a) และสายแบนคู่ (b)

หนึ่งในคุณสมบัติสำคัญของสายนำสัญญาณทั้งแบบแกนร่วมและสายแบนคู่ก็คือ อิมพิแดนซ์เฉพาะตัว (characteristic impedance: Z₀) ที่แสดงถึงอัตราส่วนของโวลเตจและกระแสไฟฟ้าที่ไหลอยู่บนสายนำสัญญาณ ณ ตำแหน่งใดๆ มีหน่วยเป็นโอห์ม (Ω)  ตัวอย่างที่ชัดเจนคือหากเรานำสายนำสัญญาณหนึ่งเส้นที่มีอิมพิแดนซ์เฉพาะตัว Z₀  และต่อด้วยโหลดความต้านทานค่าเท่ากัน (Z_L = Z₀) ทำให้ไม่มีคลื่นนิ่งในสายนำสัญญาณนั้น เมื่อเราป้อนสัญญาณเข้าที่ปลายอีกด้านหนึ่ง สัดส่วนของโวลเตจ (V) และกระแส (I) ที่ปลายสาย (รวมทั้งที่ตำแหน่งใดๆ บนสายนำสัญญาณ) จะมีค่าเป็น Z₀  ดูรูปที่ 2 

รูปที่ 2 อิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสาย
นำสัญญาณ (Z₀) บอกเราว่าอัตราส่วน
ระหว่างโวลเตจและกระแสบนโลหะ
ของสายนำสัญญาณ ณ ตำแหน่ง
ใดๆ บนสายนำสัญญาณมีค่าเท่าไร

หมายเหตุ
ในบทความนี้ผู้เขียนใช้คำว่า อิมพิแดนซ์เฉพาะตัว (characteristic impedance) แทนคำที่มีนิยามต่างหากคือ ความต้านทานจำเพาะ  (specific resistance) ที่หมายถึงคุณสมบัติในการต้านทานไฟฟ้าของวัสดุ   การเลือกใช้คำว่า อิมพิแดนซ์ เพราะครอบคลุมคุณสมบัตินี้กว่าที่อาจจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ (ส่วนจินตภาพสัมพันธ์กับความสูญเสียในสายนำสัญญาณ) และใช้คำว่า เฉพาะตัว ซึ่งตรงกับคำว่า characteristic มากกว่า

อิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณมาจากไหน

โดยโครงสร้างแล้วสายนำสัญญาณเป็นเหมือนตัวนำไฟฟ้าสองเส้นขนานกัน  ถ้าเรานำสายนำสัญญาณ (สมมติว่ามีอิมพิแดนซ์เฉพาะตัว Z₀  เป็น 50Ω) ความยาวมาก (เพื่อตัดคลื่นสะท้อนกลับที่ปลายอีกด้านหนึ่งว่ากลับมาถึงไม่ถึง) วัดความต้านทานที่ปลายอีกหนึ่งเมื่อปลายอีกข้างเปิดวงจร เราจะได้ความต้านทานทางกระแสตรงเป็น ∞Ω (หรือเปิดวงจร) แต่ถ้าเราลัดวงจรอีกด้านหนึ่ง เราจะได้ความต้านทานกระแสตรงเป็น 0Ω   แต่ถ้าเราเปลี่ยนเครื่องมือวัดเป็นแหล่งกำเนิดสัญญาณความถี่สูง เราจะเห็นความต้านทานที่วัดเป็น 50Ω  ดูรูปที่ 3 คำถามสำคัญคือทำไมจึงเป็นแบบนั้น 

รูปที่ 3 ความต้านทานเฉพาะตัวของ
สายนำสัญญาณคืออัตราส่วนระหว่าง
โวลเตจและกระแส ความถี่สูง ที่ไหล
เข้าสายนำสัญญาณที่ยาวมาก (ใกล้ → ∞)
ไม่ว่าปลายสายอีกด้านจะเปิดหรือลัดวงจร

ตำราจำนวนมากมักคำนวนหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณด้วย วงจรเสมือนทางไฟฟ้า ซึ่งเป็นวิธีหนึ่ง (ในหลายวิธี) อย่างไรก็ตามวิธีคำนวณด้วยวงจรเสมือนทางไฟฟ้าทำให้เรารู้สึกถึงความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติของสิ่งต่างๆ ที่ประกอบกันเป็นสายนำสัญญาณนั้น (เช่น ฉนวนที่อยู่ระหว่างแกนกลางกับเปลือกชีลด์, ขนาดของโลหะที่ใช้ทำแกนกลาง, และขนาดของลวดถักและ/หรือแผ่นอลูมิเนียมบางๆ ที่เป็นเปลือกด้านนอกของสายนำสัญญาณ) ได้ยาก   ดังนั้นในบทความนี้เราจะคำนวณหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณจากโครงสร้างและส่วนประกอบของมันโดยตรงผ่านทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าและไม่ผ่านวงจรเสมือนทางไฟฟ้าใดๆ

สนามไฟฟ้าและแม่เหล็กในสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม   

จากโครงสร้างของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม ณ จุดใดๆ บนสายนำสัญญาณจะมีทั้งกระแสที่ไหลที่โลหะแกนกลาง และโวลเตจระหว่างโลหะแกนกลางกับเปลือกชีลด์ของมันแสดงได้ในรูปที่ 4

รูปที่ 4 ที่ตำแหน่งใดๆ บนพื้นที่หน้าตัดของ
สายนำสัญญาณแกนร่วม จะมีโวลเตจระหว่าง
ตัวนำแกนกลางและเปลือกชีลด์ (V) และ
กระแสไฟฟ้า (I) ไหลในแกนกลาง ทั้งสอง
อย่างนี้สร้างสนามไฟฟ้า (E(r)) และสนาม
แม่เหล็ก (H(r)) ในช่องว่างระหว่างตัวนำ
ทั้งสองของสายนำสัญญาณไปด้วย

ในรูปที่ 4 จะเห็นว่าสนามไฟฟ้าในสายนำสัญญาณจะมีความเข้มสูงใกล้แกนกลาง และมีความเข้มต่ำลงเมื่อไกลแกนกลางออกมา แสดงได้ด้วยสมการ 

|E(r)| ∝ 1/r  (ดูรูปด้านล่าง)
ถ้าเขียนเป็นเวคเตอร์จะได้
E(r) = (K/r) a_r  ---------------(1)

(a) ความเข้มสนามไฟฟ้า |E| จากแผ่นโลหะ
ที่วางขนานกันจะคงที่ (M=V/ℓ เป็นค่าคงที่)

ไม่ขึ้นกับตำแหน่งจากโลหะ  (b) แต่ในสาย
นำสัญญาณแบบแกนร่วมซึ่งมีโครงสร้าง
เป็นทรงกระบอก  |E| จะน้อยลงที่บริเวณห่าง
จากจุดศูนย์กลางออกมา นั่นคือมีขนาดแปร
ตาม K/r โดย K เป็นตัวแปรที่เราต้องหา

เราสามารถหาโวลเตจที่สัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าในสมการ (1) ได้จาก
V = _a∫^b (K/r) a_r • dr  --------(a) 
สมการ (a) บอกเราว่าโวลเตจระหว่างสองจุดขึ้นกับเวคเตอร์ความเข้มสนามไฟฟ้าแต่ละจุดในทิศทางที่เราสนใจและระยะห่างระหว่างกันในทิศทางเดียวกัน  ยิ่งความเข้มสนามไฟฟ้าสูง ทิศทางเดียวกันกับที่เราสนใจ และระยะระหว่างกันมากขึ้น → โวลเตจระหว่างกันก็จะสูงขึ้น   เรารู้ระยะ a และ b แต่เราไม่รู้ K จึงคำนวณความสัมพันธ์ที่แน่นอนของ E(r) และ V ไม่ได้ ต้องหา K ก่อน

ในกรณีของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม  a_r และ dr ใน (a) มีทิศเดียวกัน และเรารู้ว่า K ไม่เป็นฟังก์ชั่นของ r   จึงเขียน (a) ใหม่ได้เป็น: 
V = K _a∫^b (1/r) dr 
V = K ∙ ln (b/a)
K = V / ln(b/a) ---------------(2)

แทน (2) ใน (1) และเขียนในรูปสเกลาร์ (เราทราบชัดเจนอยู่แล้วว่าทิศทางคือตั้งฉากกับตัวนำแกนกลาง)
E(r) = V / [ r ∙ ln(b/a) ]  -------(3) 

สนามแม่เหล็กและกระแสที่ไหลในโลหะแกนกลางของสายนำสัญญาณมีความสัมพันธ์กันตามสมการ
I = ∮_c H(r) • dℓ  ------(b)  
สมการ (b) บอกเราว่าถ้าเรารวมความเข้มสนามแม่เหล็กในส่วนเล็กๆ รอบวงปิดหนึ่ง จะได้เท่ากับกระแสไฟฟ้าที่เป็นต้นกำเนิดสนามแม่เหล็กนั้น  และกระแสไฟฟ้ากับความเข้มสนามแม่เหล็กแปรผันตามกัน

ในกรณีของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วม H(r) และ dℓ ใน (b) มีทิศเดียวกัน ทำให้
I = ∮_c H(r) dℓ    
I =  2 π r ∙ H(r)
H(r) = I / 2πr  -----------------(4)
เราเขียน H(r) ในรูปสเกลาร์เพราะเราทราบชัดเจนว่าทิศทางอยู่ในแนวเส้นรอบวงของแกนกระแส I    

สายนำสัญญาณแบบแกนร่วม (coaxial cable) มีโครงสร้างที่รองรับคลื่นแบบ TEM (Transverse Electromagnetic; คลื่นตามขวาง) อยู่แล้ว  ดังนั้น E(r) และ H(r) ในสมการที่ (3) และ (4) ซึ่งอยู่ในบริเวณฉนวน (dielectric) ระหว่างโลหะแกนกลางของสายนำสัญญาณจะตั้งฉากซึ่งกันและกัน และ cross product ของมันแสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของพลังงานจากแหล่งจ่ายไปยังโหลด ดูรูปที่ 5 

รูปที่ 5 สนามแม่เหล็กไฟฟ้า E และ H 
ที่สัมพันธ์กับโวเตจ (V) และกระแส (I)
จะตั้งฉากกันและทำให้เกิดพลังงาน
เดินทางไปในสายนำสัญญาณได้

เนื่องจากสนามไฟฟ้า E และสนามแม่เหล็ก H อยู่ในฉนวนของสายนำสัญญาณ และสัดส่วนของขนาดของมันคือ intrinsic impedance (Z_{0 intrinsic})   ขอให้สังเกตว่า Z_{0 intrinsic} เป็นค่าเฉพาะตัวของฉนวนในสายนำสัญญาณ ไม่ใช่อิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณที่เรากำลังสนใจ  นั่นคือ: 

Z_{0 intrinsic} = E/H = √(μ/ε)   -------(5)
แทน (3) และ (4) ลงใน (5) ได้ 
√(μ/ε) = V ∙ 2 π r / { I ∙ [ r ∙ ln(b/a) ] }   

นั่นคือ อิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ Z₀ คือ
V/I =  Z₀ =  (1/2π) ∙ √(μ/ε) ∙ ln(b/a) -----------(6) 

หรือ

ที่เราคุ้นเคยกันทั่วไปนั่นเอง
และสามารถเขียนได้เป็น  

Z₀ =  Dielectric Factor ⨯ Geometry Factor -----(7) 

โดย
Dielectric Factor = (1/2π) ∙ √(μ/ε) =  (1/2π) ∙ Z_{0 intrinsic} 
Geometry Factor = ln(b/a)   

เพราะ 
Z_{0 intrinsic} = √(μ/ε) 
และมีค่าประมาณ 250Ω สำหรับฉนวนที่เป็น Polyethylene ซึ่งทำให้สมการ (6) และ (7) มีหน่วยเป็น Ω นั่นเอง 

จากสมการที่ (6) และ (7) จะเห็นชัดเจนว่าอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ (Z₀) ไม่ได้เป็นคุณสมบัติโดยตรง แต่เป็นผลที่เกิดจากสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กในฉนวนของสายนำสัญญาณที่ทำให้เกิดโวลเตจและกระแสที่มีอัตราคงที่ ภายใต้การบังคับของสัดส่วน (ระยะ b และ a) ของสายนำสัญญาณนั้นนั่นเอง 

จากกระบวนการด้านบน เราสามารถหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณได้จากคุณสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้าของมันจริงๆ โดยไม่จำเป็นต้องรู้วงจรเสมือนหรือค่าเฉพาะตัวอื่น (เช่น ความเหนี่ยวนำต่อความยาว หรือ ความจุไฟฟ้าต่อความยาว) เลย  นอกจากนั้นยังเห็นอีกว่า

• อิมพิแดนซ์ตัวกลาง (intrinsic impedance: Z_{0 intrinsic}) มีผลโดยตรงต่ออิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ ถ้าเราเปลี่ยนฉนวนจาก polyethylene (Z_{0 intrinsic} ≈ 250Ω) เป็นอากาศ (Z_{0 air} ≈ 377Ω) จะทำให้อิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณสูงขึ้นทันที
• จากสมการ (4) จะเห็นว่าความหนาแน่นเส้นแรงสนามแม่เหล็กขึ้นกับกระแส I เท่านั้น ในขณะที่สมการ (3) บอกว่าโวลเตจ V ขึ้นอยู่กับระยะ b และ a ด้วย นั่นคือถ้า a คงที่ (ขนาดตัวนำแกนกลางคงที่) และ b ใหญ่ขึ้น จะทำให้ V มากขึ้น และอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณสูงขึ้น
• ในทางกลับกัน ถ้า b คงที่และ a เล็กลง จะทำให้และอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณสูงขึ้น (เหมือนที่เกิดกับสายนำสัญญาณ 50Ω ไปเป็น 75Ω) 

เปรียบเทียบกับการคำนวณจากวงจรสมมูล  

เราสามารถแทนช่วงสั้นๆ ของสายนำสัญญาณได้ด้วยวงจรสมมูลตาม รูปที่ 6 

รูปที่ 6 วงจรสมมูลของช่วงสั้นๆ ของ
สายนำสัญญาณ และอิมพิแดนซ์เฉพาะตัว
จากการคำนวณผ่านวงจรสมมูล

ซึ่งเมื่อ
R' → 0Ω  
G' → 0℧  

คือกรณีอุดมคติ ไม่มีการสูญเสียพลังงานในสายนำสัญญาณ (lossless transmission line) จะสามารถหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณได้เป็น จำนวนจริง จาก 

Z₀ =  √(L'/C')   -----------------(8) 
โดยที่ 
L' เป็นความเหนี่ยวนำในช่วงสั้นๆ (ต่อหน่วยความยาว)
C' เป็นความจุไฟฟ้าในช่วงสั้นๆ (ต่อหน่วยความยาว)
หมายเหตุ
ถ้า R' และ G' ไม่เป็นศูนย์คือมีการสูญเสียในตัวนำและฉนวนเราจะได้ Z₀ เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยส่วน imaginary จะแสดงการสูญเสียที่เกิดขึ้นนั่นเอง    ในทางตรงกันข้าม Z₀ ที่เป็นจำนวนจริงจึงหมายถึงสายนำสัญญาณเป็นแบบ lossless (ไม่มีการสูญเสียเป็นพลังงาน) เกิดเมื่อ R' และ G' เป็นศูนย์

ซึ่งเราจะลองคำนวณว่าสมการ (6) เท่ากับสมการ (8) หรือไม่ 
จากสมการ (6)
Z_0(Tx.Line) =  (1/2π) √(μ/ε) ln(b/a)

จัดเทอมใหม่ได้เป็น 
Z_0(Tx.Line)  =  √ { μ/ε ∙ [ln(b/a)]2 / [2πε]2 }    
Z_0(Tx.Line)  =  √ { [ (μ/2π) ∙ ln(b/a) ] / [ 2πε / ln(b/a) ] } --------(9)

เทียบสมการ (8) และ (9) จะเห็นว่า
L' ควร = (μ/2π) ∙ ln(b/a) --------------(10) และ
C' ควร = 2πε / ln(b/a) -----------------(11) 

ซึ่งเราจะดูต่อไปว่า (10) และ (11) เป็นจริงหรือไม่

รูปที่ 7 เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง
กระแสในช่วงสั้นๆ I, ความเข้มเส้นแรงแม่เหล็ก H 

กับความเหนี่ยวนำต่อความยาวสั้นๆ ได้

จาก Ampere's Law 

∮_c H • dℓ  =  I_enclosed   
H และ dℓ  มีทิศทางเดียวกัน ดังนั้นอินทิเกรทสมการบนได้
H(r) 2 π r = I 
H(r) = I / 2 π  r    

B =  μH  ดังนั้น
B(r) = μI / 2 π r  ---------------(12) 

L = Φ / I  
เมื่อ  
Φ คือ magnetic flux 
L เป็นความเหนี่ยวนำไฟฟ้า

แต่ 
Φ = ∫∫_s B(r) • dA 
B(r) และ dA  มีทิศเดียวกัน
และพื้นที่เล็กๆ ที่ฟลักซ์พุ่งผ่าน
dA = ℓdr 

ดังนั้น
Φ = ∫∫_s B(r) ℓdr   
Φ =  _a∫^b B(r) ℓdr ---------------(13) 

แทน (12) ใน (13) โดยที่เรารู้ว่าทิศทางของเวคเตอร์ B(r) อยู่แนวตั้งฉากกับ dA อยู่แล้ว 
Φ =  _a∫^b (μI / 2πr) ℓdr   
Φ =  (μIℓ / 2π) _a∫^b (1/r) dr 
Φ =  (μIℓ / 2π) ln(b/a) 

และ 
L' = L / ℓ  
L = Φ / I 
ดังนั้น
L' = Φ / Iℓ   

ดังนั้น 
L' = (μ / 2π) ln(b/a) ----------(14) = (10) 

รูปที่ 8 เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง

จำนวนประจุไฟฟ้าในช่วงสั้นๆ Q,
ความหนาแน่นสนามไฟฟ้า D = εE 

กับความจุไฟฟ้าต่อความยาวสั้นๆ ได้

จากกฎของ Guass
Q_enclosed  =  ∮_s D(r) • dS  
โดย  D(r) = ε E(r) 

ในกรณีของเราตามรูปที่ 8 
Q_enclosed  =  ε ∮_s E(r) • dA  

เพราะ
ทิศทางของ E(r) และ dA อยู่ในทิศเดียวกัน
และพื้นที่ผิว dA รวมทั้งหมดเป็น 
A = 2πrℓ  

ทำให้
Q_enclosed  =  ε 2πr ℓ E(r)  
โดย
Q_enclosed  = Q' ℓ   
Q' เป็นประจุต่อความยาว 

ได้
E(r) = Q' / (ε ∙ 2πr)  ----------------(15) 

จาก
V =  _a∫^b E(r) • dr --------------(16) 
แทน (15) ลงใน (16) ซึ่งเวคเตอร์ E(r) และ dr มีทิศทางเดียวกัน 

ดังนั้น
V =  _a∫^b  (Q'/2π εr) dr   
V = Q'/2πε  _a∫^b (1/r) dr 
V = Q' ln[r]_a-b /2πε  
V = Q' ln(b/a) / 2πε   

เพราะความจุไฟฟ้าต่อหน่วยความยาว เท่ากับ จำนวนประจุในความยาวนั้นต่อโวลเตจตกคร่อมความจุไฟฟ้านั้น หรือ: 
C' = Q' / V 

ดังนั้น 
C' = 2πε / ln(b/a) ---------------(17) = (11) 

จาก (8)→(9) และ (14)=(10), (17)=(11) เราเห็นได้ว่าทั้งสองวิธีการ (เฉพาะที่กล่าวถึงในบทความนี้) ในการหาอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ Z₀ ได้ผลตรงกัน  และในที่สุดเราอาจจะพูดได้ว่า ในกรณีของ สายนำสัญญาณแบบแกนร่วมในอุดมคติที่ไม่มีการสูญเสียพลังงาน (ideal lossless coaxial transmission line):

-----(12)

นั่นเอง

สรุป

• อิมพิแดนซ์เฉพาะตัว (Z₀ : transmission line characteristic impedance) ของสายนำสัญญาณแบบแกนร่วมคือสัดส่วนของโวลเตจและกระแสไฟฟ้าระหว่างและที่ไหลอยู่ในตัวนำทั้งสอง (หรือ Z₀ = V/I) เมื่อคลื่นในสายนำสัญญาณเป็นแบบ TEM และตัดเรื่องการสะท้อนกลับออกไปก่อน
• ความเข้มสนามแม่เหล็ก (H) ที่หน้าตัดใดๆ บนสายนำสัญญาณขึ้นกับกระแส (I) ที่ตำแหน่งนั้นเท่านั้น ในขณะที่ความเข้มสนามไฟฟ้า (E) ถูกล็อคไว้ = Z₀-intrinsic ⨯H    และโวลเตจระหว่างตัวนำทั้งสอง (V) มีค่าขึ้นอยู่กับ E และขนาด a และ b    โดยเมื่อ a คงที่และ b ใหญ่ขึ้น V จะเพิ่มขึ้น (I คงที่) ทำให้ Z₀ เพิ่มขึ้น  
• Z₀-intrinsic เป็น อิมพิแดนซ์ภายใน ของตัวกลางที่คลื่นเดินทางอยู่  บอกสัดส่วนขนาดของ |E| และ |H| คือ Z₀-intrinsic = |E| / |H| = √(μ/ε) ในตัวกลางนั้น   ในกรณีของสายนำสัญญาณแบบแกนคู่ตัวกลางก็คือฉนวนระหว่างตัวนำทั้งสอง เช่น polyethylene (Z₀-intrinsic PE = 250Ω) หรือโฟม (Z₀-intrinsic Foam = 377Ω ใกล้เคียงอากาศ)  และเป็นคนละตัวกับ Z₀  ซึ่งเป็นค่าของสายนำสัญญาณ
• อิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ (Z₀) จึงเป็นผลจากการถูกบังคับทางแม่เหล็กไฟฟ้าของคลื่นที่วิ่งในตัวกลาง (ฉนวนระหว่างตัวนำทั้งสอง) ซึ่งมีสัดส่วนของขนาด E และ H คงที่ (เป็น Z₀-intrinsic ของฉนวน) ภายในโครงสร้างของสายนำสัญญาณที่มีสัดส่วนเฉพาะ (b และ a) ทำให้เกิดโวลเตจระหว่างตัวนำทั้งสอง (V) และกระแสไฟฟ้า (I) ที่ไหลอยู่ในตัวนำทั้งสอง และสัดส่วนของมันคือ Z₀ นั่นเอง
• เราสามารถมองว่าอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณเกิดจากผลคูณของส่วนประกอบสองอย่างคือ (1) Dielectric factor = (1/2π)∙Z₀-intrinsic  มาจากคุณสมบัติของฉนวนระหว่างตัวนำทั้งสอง และ (2) Geometry factor = ln(b/a) จากสัดส่วนของรัศมีของตัวนำแกนกลาง (a) และปลอกชีลด์ (b) ตามลำดับ 
• บทความนี้ชี้ให้เห็นว่า การเห็นที่มาของ Z₀ ผ่านการวิเคราะห์ด้วยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าโดยตรงทำให้เราเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในสายนำสัญญาณได้ดีกว่าการมองผ่านวงจรเสมือน
• เราสามารถนึกภาพผลของ Z₀ ของสายนำสัญญาณได้ เช่น ถ้าเรานำสายนำสัญญาณยาวมาก (∞) มาหนึ่งเส้น จ่ายกำลังไฟฟ้าความถี่สูง (RF) เข้าด้านหนึ่ง จะเห็นว่าโวลเตจที่ปรากฏและกระแสที่ไหลเข้าปลายสายนำสัญญาณ (V/I) นั้นเป็น Z₀ นั่นเอง  
• และด้วยการคำนวณโดยอาศัยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นหลักนี้ เราสามารถคำนวณหา L' (ความเหนี่ยวนำต่อความยาว) และ C' (ความจุไฟฟ้าต่อความยาว) และใช้คำนวณหา Z₀ ของสายนำสัญญาณได้ผลเดียวกัน 

---

©Jitrayut Chunnabhata, 2026.

This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is not permitted without prior permission. 

© 2026 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ

เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และไม่อนุญาตให้คัดลอกเผยแพร่ซ้ำโดยตรงโดยไม่ได้รับอนุญาต