การใช้งานสมิทชาร์ท

หลังจากที่เรารู้ที่มาของเจ้าสมิทชาร์ทในบทความ ที่มาของ Smith Chart กันไปแล้ว คราวนี้เราก็จะมาดูว่าจะเอามันไปใช้งานได้อย่างไร แต่ก่อนจะถึงตรงนั้นผมอยากสรุปสิ่งที่เราเห็นบนสมิทชาร์ทก่อนอีกสักครั้ง

1. โดยพื้นฐานแล้ว สมิทชาร์ทมีสัณฐานเป็นรูปวงกลม มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย

2. จุดต่างๆ บนสมิทชาร์ททั้งหมด โดยเริ่มแรกคือสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ (Γ เป็นตัวอักษรกรีกอ่านว่า แกมมา) ที่จุดใดๆ บนสายนำสัญญาณ (เริ่มตั้งแต่ต้นทางคือจุดที่ต่อกับโหลด ไปถึงจุดสังเกตและ/หรือที่ต่อกับแหล่งสัญญาณ)

3. สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ ประกอบไปด้วยขนาดและมุม (คือเป็นจำนวนเชิงซ้อน มีส่วนจริงและจินตภาพ มีขนาดได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1) ที่เราสามารถเขียนได้ในหลายรูปแบบ (บนสมิทชาร์ทนั้นค่าของ Г ดูจะเป็นมิตรกับพิกัดวงกลมได้ดีกว่า อ่านไปเรื่อยๆ จะเห็นเองครับ)

สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г = Г_re + j Г_im   --- เป็นการเขียนในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate)
ขนาดของ Г เขียนแทนด้วย ІГІ = (Г_re² + Г_im²)^1/2
มุมของ Г = tan^-1 (Г_im / Г_re)
Г = ІГІ∟มุม   --- เป็นการเขียนในพิกัดวงกลม (circular coordinate)

4. นอกจากสัมประสิทธิการสะท้อนกลับแล้ว ที่จุดใดๆ บนสมิทชาร์ทจะแสดงค่า z (z ไม่มีหน่วย และเขียนด้วยอักษรเล็ก หมายถึง normalized impednace คือเป็นค่าอิมพิแดนซ์ที่เทียบฐานกับ Z₀ หรืออิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณที่ใช้ มีหน่วยเป็นโอห์ม) ที่สัมพันธ์กับสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ คือสามารถอ่านค่าของ r และ x ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ท (สังเกตว่า r และ x เขียนด้วยตัวอักษรเล็ก และไม่มีหน่วย) โดย

z = r + j x (ไม่มีหน่วย)
Z = Z₀ (z)   Ω
Z = R + jX  Ω
โดย Z (ตัวอักษรใหญ่) คืออิมพิแดนซ์จริง คิดได้โดยเอา Z₀ (มีหน่วยเป็นโอห์ม เช่น 50 Ω) คูณ z (ซึ่งไม่มีหน่วย) กลับเข้าไป (คือทำตรงกันข้ามกับตอนที่เรา normalized มันนั่นเอง) ก็จะได้ Z ที่มีหน่วยเป็น Ω

คราวนี้เราก็จะค่อยๆ มาดูว่าเราจะเอาสมิทชาร์ทไปใช้งานอะไรได้บ้าง เราจะมาเริ่มต้นด้วยการดูว่าถ้าเราเปลี่ยนจุดสังเกตบนสายนำสัญญาณ หรือเรียกว่าถ้าเอาสายนำสัญญาณไปต่อกับโหลดหรือสายอากาศที่ไม่แมทช์ (คือมีการสะท้อนกลับ นั่นคือ Г ≠  0) แล้วจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง

อิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนไปตามความยาวของสายนำสัญญาณ

สมิทชาร์ทสามารถให้คำตอบเราได้อย่างง่ายดายในหลายอย่าง แต่อย่างแรกที่เราจะมาดูกันก่อนก็คือการหาอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อเราต่อโหลดด้วยสายนำสัญญาณความยาวต่างๆ กัน ลองดูตัวอย่างใน ภาพที่ 1 ที่แสดงการต่อโหลด Z_L ที่อาจจะเป็นสายอากาศที่มีอิมพิแดนซ์ไม่แมทช์กับสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์จำเพาะ Z₀ ทำให้เกิดการสะท้อนและมีสัมประสิทธิการสะท้อนที่มีค่าไม่เท่ากับ 0 เกิดขึ้น และมีค่าเป็น Γ_L ที่ตำแหน่งต่อเชื่อม

ภาพที่ 1 สัมประสิทธิการสะท้อน Γ จะเปลี่ยนไปตามระยะทางที่ห่างจากโหลด

คือเคลื่อนที่เป็นวงกลมบนสมิทชาร์ทตามเข็มนาฬิกาเมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับ ǀΓǀ

เมื่อเราต่อสายนำสัญญาณนี้ออกมาจากโหลด Z_L ด้วยความยาวต่างๆ กันแล้วมองกลับเข้าไป สิ่งที่เกิดขึ้นคือสัมประสิทธิการสะท้อนจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับความยาวของสายนำสัญญาณนั้น (ความยาวในที่นี้ จะวัดกันเป็น "ความยาวคลื่น" และจะถูกแปลงไปสัมพันธ์กับ "องศาที่หมุนไป" ของสัมประสิทธิการสะท้อนตามในภาพ) จากนั้นเมื่อเราได้สัมประสิทธิการสะท้อนค่าใหม่ที่ความยาวสายนำสัญญาณต่างกัน เราก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ที่เป็น ณ จุดนั้นๆ ได้ (โอ้ว ช่างง่ายเหลือเกิน)

ในภาพที่ 1 จะเห็นว่า
- ที่จุดต่อเชื่อมกับโหลด มีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ_L 
- ที่ระยะห่างจากโหลด l₁ มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปและมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ₁ 
- ที่ระยะห่างจากโหลด l₂ มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปอีกและมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ₂ 
- โดยการหมุนต่างๆ นี้ ขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อน ǀΓǀ จะมีขนาดเท่าเดิม การหมุนที่เกิดขึ้นจึงเป็นวงกลมรัศมีเท่ากับ ǀΓǀ และสามารถใช้วงเวียนช่วยในการขีดเส้นที่หมุนนี้ได้   
- และหมุนเช่นนี้เรื่อยไปเมื่อสายนำสัญญาณยาวขึ้น ห่างจากโหลด Z_L มากขึ้น มากขึ้น... จนกระทั่งที่ระยะห่างจากโหลด l₄ มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปจนมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ₄
- ณ จุดความยาวสายนำสัญญษณ l₄ จะทำให้ "อ่าน" ค่าอิมพิแดนซ์แบบเทียบฐาน (normalized impedace) ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ทได้เป็น z = r+jx และเมื่อคูณกลับด้วย Z₀ ก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ (Z_in) ได้

เป็นไงครับ น่าสนใจใช่ไหมล่ะครับ  เราค่อยๆ มาดูเบื้องหลังของสิ่งที่เล่าไปดีกว่าว่า ทำไมต้องหมุน หมุนเท่าไร ไกลแค่ไหน หมุนจากไหนไปไหน โดยมาดูตัวอย่างจริงกัน

ภาพที่ 2 ต่อโหลดขนาด 25Ω เข้ากับสายนำสัญญาณ Z₀=50Ω และหาอิมพิแดนซ์ Z_in

ลองดูภาพที่ 2 ที่เราต่อโหลด Z_L ขนาด 25Ω เข้ากับสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์จำเพาะ 50Ω สิ่งที่เกิดขึ้นคือการไม่แมทช์ และเกิดการสะท้อนที่จุดต่อเชื่อม Γ_L(l=0) ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีคำนวณคือ Γ_L(l=0) = (Z_L-Z₀)/(Z_L+Z₀) หรือจะใช้วิธีทางสมิทชาร์ทโดยการหาร Z_L (ที่มีค่าเป็น 25 + j0 Ω) ด้วย Z₀ (มีค่าเป็น 50Ω) และได้เป็นค่าอิมพิแดนซ์แบบเทียบฐาน (normalized impedance) z = 0.5 + j0 (ไม่มีหน่วย) จากนั้นก็ทำเครื่องหมายลงไปบนสมิทชาร์ท ซึ่งจะสามารถอ่านค่าตรงๆ ในพิกัดวงกลมได้เป็น Γ_L = 0.5∟180ᴼ = 0.5e^j180ᴼ = 0.5e^jπ  หรือในพิกัดสี่เหลี่ยมคือ Γ_L = -0.5 + j0 โอห์ม (จะว่าไป ไม่ว่าจะอ่านตรงๆ หรือจะคำนวณ ก็จะได้ค่าเดียวกันทั้งหมด) ดูภาพที่ 3

ภาพที่ 3 สัมประสิทธิการสะท้อนที่จุดเชื่อมต่อโหลด ǀΓǀ หาโดยการ

คำนวณก็ได้หรือจะโดยวิธีหา normalized impedance z

แล้วทำเครื่องหมายลงในสมิทชาร์ทก็ได้ จะได้ผลเท่ากันทั้งหมด

จากการต่อในภาพที่ 2 เมื่อเราพยายามมองดูค่าอิมพิแดนซ์ที่ปลายของสายนำสัญญาณความยาว d ที่ยาว (3/16)λ จะทำให้อิมพิแดนซ์ที่สุดสังเกตเปลี่ยนไป ลองดูสมการต่อไปนี้

ที่จุดสังเกต l=d
Γ(l=d) = Γ_L e^-j2kd  
โดย k เป็นค่าคงตัวของเฟส (phase constant)
k = 2π/λ  (หน่วย rad/m หรือ เรเดียนต่อเมตร) 
ดังนั้น
Γ_in = Γ(l=d) = Γ_L e^-j4πd/λ

สังเกตดีๆ ว่ามีเครื่องหมายลบ อยู่ใน e^-j4πd/λ นั่นคือเมื่อจุดสังเกตเลื่อนห่างจากโหลดมากขึ้น มุมมจะลดลง คือต้องหมุนสัมประสิทธิการสะท้อน Γ ตามเข็มนาฬิกาเพื่อลดมุมลงนั่นเอง (อ่ะ ได้คำตอบแล้วว่าทำไมต้องหมุนตามเข็มนาฬิกา)

ภาพที่ 4 การคำนวณหา Z_in ที่ระยะ d=(3/16)λ โดยการ "หมุน" Γ 

เพื่อหา Γ_in ไปเป็นมุมเท่ากับความยาว (3/16)λ หรือ 135ᴼ     

การคำนวณใน ภาพที่4 จะเห็นได้ว่าเมื่อเราต่อสายนำสัญญาณความยาว (3/16)λ ความยาวนั้นจะคิดเป็นมุม 135ᴼ (คิดง่ายๆ ว่าถ้ายาว ¼λ จะหมุนไป 180ᴼ หรือครึ่งรอบ ถ้าความยาวมากหรือน้อยกว่านั้นก็เทียบเป็นองศามากน้อยตามสัดส่วนกันไป (ถ้าสายนำสัญญาณยาวเกิน ½λ ก็จะหมุนเกิน 360ᴼ หรือหนึ่งรอบ อาจจะมุนวนหลายรอบก็ได้ ซึ่งก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นปกติเนื่องจากความยาวของสายนำสัญญาณก็ยาวเกิน ½λ ได้อยู่แล้ว)

ในภาพที่ 4 จะเห็นว่าเมื่อความยาวสายนำสัญญาณเป็น (3/16)λ จะทำให้สัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่ปลายสายนำสัญญาณมีค่าเป็น Γ_in = Γ(l=d) = 0.5∟(180ᴼ-135ᴼ) = 0.5∟45ᴼ ในพิกัดวงกลมและเป็น 0.3535 + j0.3535 ในพิกัดสี่เหลี่ยม และที่จุดนั้นเราสามารถอ่านค่าของ z = r + jx ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ทเป็น z ≈ 1.38 + j 1.30 และสามารถคำนวณค่าของอิมพิแดนซ์ขาเข้า Z_in โดยการเอา Z₀ คูณกลับเข้าไปกับค่า normalized impedance z

Z_in = Z₀ (z) ≈ 50 Ω (1.38 + j 1.30) ≈ 69 + j 65 Ω
(โดยประมาณ เนื่องจากเป็นการอ่านจากชาร์ท ที่ผิดพลาดได้บ้าง)

จะเห็นว่าวิธีใช้งานสมิทชาร์ทเพื่อการหาอิมพิแดนซ์ที่เกิดขึ้นตามความยาวของสายนำสัญญาณ (นี่แค่ตัวอย่างเดียว มันทำอย่างอื่นได้อีกเยอะครับ ขอบอก) มีวิธีการที่สั้นมาก ถึงจะมีการคำนวณก็เพียงเล็กน้อยเท่านั้นและไม่ซับซ้อนอะไรมาก ที่ผ่านมาอาจจะเห็นว่ามากมายแค่เพราะผมให้ดูหลายวิธีไปในคราวเดียว และเทียบว่าผลมันเท่ากันเท่านั้นเอง แต่ที่จริงแล้วคิดวิธีเดียวก็พอ

สรุปวิธีการใช้งาน Smith Chart เพื่อหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ

หลังจากที่เรารู้หลักการแล้ว เรามาสรุปการใช้สมิทชาร์ทเพื่อหาอิมพิแดนซ์ที่เกิดขึ้นจากการต่อโหลดที่ไม่แมทช์กับสายนำสัญญาณ (คือ อิมพิแดนซ์ของโหลด Z_L ไม่เท่ากับอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z₀) ที่มีความยาวต่างๆ กัน ดังนี้

ภาพที่ 5 ขั้นตอนการใช้สมิทชาร์ทหาอิมพิแดนซ์ Z_in ที่ปลายสายนำสัญญาณความยาว d

1. คำนวณหาค่าอิมพิแดนซ์เทียบฐานหรือ normalized impedance Z (เขียนด้วย Z ตัวเล็กและไม่มีหน่วย) โดยการหารโหลด Z_L ด้วยอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z₀  จากนั้นทำเครื่องหมายลงบนสมิทชาร์ทในตำแหน่ง Z 
2. คำนวณหามุมที่จะต้อง "หมุน" สัมประสิทธิการสะท้อน Γ โดยคำนวณจากความยาวทางไฟฟ้าของสายนำสัญญาณว่าเป็นกี่ความยาวคลื่น (กี่ λ) จากนั้นคำนวณว่าเป็นมุมกี่องศาจาก 4πd/λ (โดย d เป็นความยาวในหน่วย λ และแทนค่า π ด้วย 180ᴼ) หรือจะเทียบเอาว่าความยาว ¼λ คือ 180ᴼ (ครึ่งรอบ) ก็ได้ แล้วคำนวณเป็นองศาออกมา จากนั้น "หมุน" สัมประสิทธิการสะท้อน Γ ไปเป็นมุมที่คำนวณไว้โดยใช้วงเวียนช่วยในการวาดรูปวงกลม (ต้องกลมจริงๆ ไม่เช่นนั้นผลที่ได้จะผิดเพี้ยนไป)
3. จะได้ตำแหน่งของสัมประสิทธิการสะท้อน Γ_in ที่ตำแหน่งปลายสายด้านขาเข้า อ่านค่าของ normalized impedance Z ที่ตำแหน่งนั้นจากเส้น r และ x บนสมิทชาร์ทได้เป็น z = r + jx และคูณด้วย Z₀ กลับเข้าไป จะได้อิมพิแดนซ์ที่มองเข้าไปที่ปลายสายนำสัญญาณ Z_in

เพียง 3 ขั้นตอนง่ายๆ แค่นี้ก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ลัพธ์ที่สายนำสัญญาณแปลงค่าไปได้แล้วโดยใช้การคำนวณเล็กน้อยบวกกับวิชาขีดเขียนนิดหน่อย มีข้อแนะนำเล็กน้อยว่าอุปกรณ์ที่ขาดไม่ได้คือ วงเวียนและไม้บรรทัด และที่ขอบของสมิทชาร์ท (ขอบรอบๆ วงกลม) จะมีมาตรหรือสเกลอยู่ อาจจะแสดงเป็นส่วนของ λ หรืออาจจะเป็นองศา (แล้วแต่ว่าได้สมิทชาร์ทมาจากสำนักใด) ก็สามารถนำมาใช้ช่วยในขณะที่ "หมุน" สัมประสิทธิการสะท้อน Γ ได้

วิธีใช้ Smith Chart เพื่อหาค่า VSWR

สมิทชาร์ทโด่งดังและมีประโยชน์มากก็เพราะมีประโยชน์หลายอย่าง นอกจากการใช้หาอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนไปจากความยาวของสายนำสัญญาณแล้วก็ยังใช้หาค่า VSWR ได้โดยที่ไม่ต้องคำนวณอีกด้วย (คำนวณแหละ แต่นิดเดียว เลยง่ายกว่า)

หลักการนั้นง่ายมากทีเดียว ง่ายจนไม่คิดว่ามันง่ายขนาดนี้คือ เมื่อเราหา Γ ได้, ทำเครื่องหมายลงบนสมิทชาร์ท, และใช้วงเวียนวาดวงกลมแล้ว "ขนาด" ความใหญ่ของวงกลมนี้แหละเป็นตัวบอกว่า VSWR มีค่าเท่าไร ถ้าวงกลมมีขนาดเล็ก VSWR ก็มีค่าต่ำ (ดี) แต่ถ้าวงกลมมีขนาดใหญ่ VSWR จะมีค่าสูง (ไม่ดี) นั่นเอง

ภาพที่ 6 การหาค่า VSWR โดยใช้สมิทชาร์ท

ขั้นตอนนั้นไม่ยากเลย เพียงทำเหมือนที่เคยทำมาคือ

1. คำนวณหา normalized impedance Z โดยการหารโหลด Z_L ด้วยอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z₀  ก็จะได้ z = r ± jx (x มีค่าเป็นบวกเมื่อโหลดแสดงความเหนี่ยวนำด้วย และอาจจะมีค่าเป็นลบก็ได้ในกรณีที่โหลดแสดงความเป็นตัวเก็บประจุปนอยู่)
2. จากนั้นกำหนดตำแหน่งของ normalized impedance Z ลงไปบนสมิทชาร์ท
3. ใช้วงเวียนวาดวงกลมให้ผ่านจุด normalized impedance Z โดยมีศูนย์กลางที่ Γ=0 
4. ลากเส้นสัมผัสขอบของวงกลมจากจุดที่วงกลมตัดกับแกนนอนของ Γ ลงมาในแนวดิ่ง จนตัดกับสเกลด้านล่าง (เสกลด้านล่างนี้อาจจะไม่มีมาตรฐานตายตัวนัก ไม่เหมือนในส่วนของวงกลมสมิทชาร์ท และมีทั้งด้านล่างของฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของวงกลม ในทางปฏิบัติเราก็เลือกลากเส้นลงมาตัดเสกลสำหรับหาค่า VSWR ของสมิทชาร์ทที่เราใช้ เพราะสมิทชาร์ทที่มาจากแต่ละแหล่งอาจจะวางสเกลต่างๆ ไว้ต่างตำแหน่งกันได้)
5. อ่านค่า VSWR ที่สเกลด้านล่าง (ในภาพอ่านได้ประมาณ 1.8:1)

จะเห็นว่าง่ายมาก และเห็นได้อีกว่าหากโหลด Z_L แมทช์กับ Z₀ พอดี (เช่นเป็น 50Ω ทั้งคู่) จะทำให้ได้ z=0+j0 ซึ่งเป็นตำแหน่งศนย์กลางของสมิทชาร์ท (Γ=0)  เมื่อพยายามวาดวงกลมจะได้วงกลมมีขนาดรัศมีเป็นศูนย์ (เหลือแค่จุดอยู่ตรงกลางของชาร์ท) เมื่อลากเส้นสัมผัสขอบวงกลมลงมายังสเกลด้าานล่างจะได้ VSWR=1:1 นั่นเอง

ยังไม่หมด ครับยังไม่หมด สมิทชาร์ทำอย่างอื่นได้อีก และมีประโยชน์ยิ่งขึ้นไปอีก ไว้เรามาดูเพิ่มกันในบทความต่อไปนะครับ / HS0DJU/KG5BEJ (จิตรยุทธ จุณณะภาต)