วันพุธที่ 9 มีนาคม พ.ศ. 2559

ที่มาของ Smith Chart

เพื่อนๆ คงเคยได้ยินคำว่าสมิทชาร์ทกันมาบ้าง ประมาณว่ามันเป็นกระดาษวิเศษหนึ่งแผ่นที่สามารถช่วยในการคำนวณเกี่ยวกับสายนำสัญญาณและการแมทชิ่งต่างๆ ได้มากมาย แต่จนแล้วจนรอดก็ไม่รู้ว่ามันใช้งานอย่างไร และยิ่งแทบจะไม่รู้เลยด้วยซ้ำว่ากระดาษที่มีลายเส้นเต็มไปหมดนั้นมีที่มาอย่างไร เส้นต่างๆ เหล่านั้นคืออะไร และทำไมถึงอยู่กันแบบนั้น แต่คราวนี้ไม่ต้องกลัวแล้ว เพราะเราจะค่อยๆ ดูที่มาของมันกันทีละขั้นทีละตอน และก็ไม่เป็นความลับดำมืดสำหรับเพื่อนที่ได้อ่านบทความนี้อีกต่อไป เริ่มกันเลยดีกว่า

แต่ก่อนจะมาดูรายละเอียดกัน ถ้าเราสังเกตแผนภาพของสมิทชาร์ทดีๆ จะเห็นว่ามันมีลักษณะเป็นวงกลม และมีเส้นมากมายอยู่ภายใน แต่ถ้าสังเกตดูเส้นภายในดีๆ จะเห็นว่าสามารถแบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มแรกคือเส้นที่ครบรอบเป็นวงกลมที่ไล่จากใหญ่สุดด้านนอกริมสุดของสมิทชาร์ท ไปถึงวงกลมที่เล็กที่สุดที่อยู่บริเวณกลางด้านขวามือ ส่วนเส้นในสมิทชาร์ทอีกกลุ่มหนึ่งเป็นเส้นที่ไม่ครบเป็นวงกลมแต่เป็นเพียงส่วนของเส้นขอบวงกลมและมีอยู่ทั้งซีกด้านบนและด้านล่างของชาร์ท คราวนี้ล่ะครับที่เราจะมาดูกันว่า เส้นพวกนี้มาได้อย่างไร ทำไมเรียงตัวด้วยรูปร่าง ขนาด อย่างที่เราเห็น

จากบทความที่แล้วเรื่องของทฤษฎีสายนำสัญญาณ เราได้เห็นว่าเราสามารถคำนวณอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากการต่อ
โหลดด้วยสายนำสัญญาณที่มีค่าอิมพิแดนซ์จำเพาะ Z0 และมีความยาว l (แอล) ที่เป็นไปตามสูตร
ภาพที่ 1 อิมพิแดนซ์ที่ตำแหน่งบนสายนำสัญญาณ l

สมการตามภาพที่ 1 คือสูตรที่ใช้คำนวณอิมพิแดนซ์ที่ตำแหน่งบนสายนำสัญญาณ l  ซึ่งสำคัญมากตรงที่เราต้องเข้าใจก่อนว่ามันเป็นฟังก์ชั่นของจำนวนเชิงซ้อน (complex number) คือ มีตัวแปรต้นหรือตัวก่อเหตุเป็น Γ(l) ที่สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ และผลของมันคืออิมพิแดนซ์ Z(l) ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้

เนื่องจากสมการในภาพที่ 1 เป็นสมการที่เราต้องการวาดออกมาเป็นกราฟ แต่จะเห็นว่ามีตัวคูณคือค่าอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0 ติดอยู่ในสมการ ดังนั้นกราฟที่ได้ก็จะต้องขึ้นกับ Z0 อยู่เสมอ ทำให้เราไม่สามารถสร้างภาพกราฟมาตรฐานที่ใช้ได้ทั่วไปอย่างที่ต้องการ จึงมีการใช้วิธี "เทียบฐาน" (ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Normalized) ให้เกิดเป็นมาตรฐานขึ้น โดยการพยายามวาดกราฟของ z (สังเกตว่าเป็นอักษรตัวเล็ก) แทน โดยที่
ภาพที่ 2 การเทียบฐานหรือ Normalize อิมพิแดนซ์กับ Z0

ให้สังเกตว่า ค่าอิมพิแดนซ์ที่ผ่านการ normalize จะแทนด้วย z ซึ่งเป็นตัวอักษรเล็กและไม่มีหน่วย ด้วยวิธีแบบนี้ เราก็จะคำนวณสิ่งต่างๆ ไปตามปกติ และเมื่อได้คำตอบ z เป็นเท่าใด เมื่อต้องการทราบค่าของ Z(l) ที่แท้จริงก็เอา Z0 ไปคูณกลับเท่านั้นเอง และเราสามารถแสดงค่าอิมพิแดนซ์ที่เทียบฐานแล้ว (normalized impedance) ได้เป็นดังสมการบนสุดในภาพที่ 3 และเมื่อเราคำนวนต่อ โดยที่รู้ว่าสัมประสิทธิการสะท้อนนั้นเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทำให้สามารถคำนวณค่าของ r และ x (ส่วนจริงหรือ real และส่วนจินตภาพหรือ imaginary) ของ "อิมพิแดนซ์เทียบฐาน" z ได้เป็นสมการที่ 1 และ 2 ตามในภาพที่ 3

ภาพที่ 3 การคำนวณส่วนจริงและจินตภาพของ normalized impednace z


และเมื่อเราจัดสมการที่ 1 และ 2 ต่อเล็กน้อย เราจะได้สมการ 3 และ 4 ตามลำดับดังแสดงในภาพที่ 4 ซึ่งจะเห็นได้ว่า:
สมการที่ 3 เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ {r/1+r , 0} และมีรัศมี 1/1+r
สมการที่ 4 เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ {1 , 1/x} และมีรัศมี 1/x

ภาพที่ 4 เราสามารถปรับสมการ 1 และ 2 กลายเป็นสมการวงกลม 3 และ 4 ตามลำดับ

และเราสามารถวาดภาพของเส้นจากสมการที่ 3 และ 4 ได้ดังภาพที่ 5

ภาพที่ 5 เส้นกราฟจากสมการวงกลม 3 และ 4 จะได้วงกลมจำนวนสองชุด

ซึ่งในความเป็นจริงแล้วค่าของสัมประสิทธิการสะท้อนจะมี "ขนาด" ไม่เกิน 1 นั่นคือขอบเขตของความเป็นไปได้ในกราฟจะต้องถูกจำกัดอยู่ด้วยวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย หรือก็คือเส้นสีเขียว r=0(short) ในภาพที่ 5 ซ้ายมือ และทำให้เราได้ Smith Chart ที่เกิดจากการเอาภาพซ้ายและขวาของภาพที่ 5 มาซ้อนกัน ทำให้มีลักษณะดังภาพที่ 6


ภาพที่ 6 สมิทชาร์ทเกิดจากการซ้อนกันของเส้นวงกลมต่างๆ จำนวนสองชุด

ถึงตรงนี้ เพื่อนๆ คงพอมองภาพออกแล้วว่า เจ้าแผ่นกระดาษที่มีเส้นเต็มไปหมด (แต่เอาเข้าจริงก็แบ่งออกเป็นเพียงสองกลุ่มเท่านั้นเอง) มีที่มาอย่างไร

สรุปสั้นๆ ง่ายๆ ได้ว่า

"สมิทชาร์ทเป็นระนาบของสัมประสิทธิ์การสะท้อนหรือ Γ (อ่านว่า แกมม่า) ณ จุดหนึ่งๆ บนสายนำสัญญาณ  Γ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เราอาจจะเขียนในพิกัดสี่เหลี่ยมเป็น Г = Гre + Гim ก็ได้หรือจะเขียนในพิกัดวงกลมเป็น ІГІมุม ก็ได้ (ІГІ เป็นขนาดของ Г) และแต่ละจุดบนสมิทชาร์ทจะแสดงค่า r (คือ resistance ซึ่งเป็นส่วนจริงหรือ real part ของอิมพิแดนซ์ z) และ x (คือ reactance ซึ่งเป็นส่วนจินตภาพหรือ imaginary part ของอิมพิแดนซ์ z) ณ ตำแหน่งนั้นซึ่งเป็นค่าของ z (โดย z = r +/- jx) ด้วย"

ภาพที่ 7 จุดบนสมิทชาร์ทแสดงถึงสัมประสิทธิการสะท้อนและอิมพิแดนซ์ที่มองเห็น ณ ตำแหน่งนั้น

หวังว่า จะพอทำให้เพื่อนๆ มองภาพออกถึงที่มาของสมิทชาร์ท ในความหน้าเราจะมาดูว่าเราสามารถนำมันไปใช้ทำอะไรได้บ้าง โปรดคอยติดตามตอนต่อๆ ไปนะครับ ส่วนคราวนี้ผมต้องบอกว่าสวัสดี QRU 73 de HS0DJU / KG5BEJ (จิตรยุทธ จุณณะภาต) ครับ