Birth of Smith Chart
โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)
เพื่อนๆ คงเคยได้ยินคำว่าสมิทชาร์ทกันมาบ้าง ประมาณว่ามันเป็นกระดาษวิเศษหนึ่งแผ่นที่สามารถช่วยในการคำนวณเกี่ยวกับสายนำสัญญาณและการแมทชิ่งต่างๆ ได้มากมาย แต่จนแล้วจนรอดก็ไม่รู้ว่ามันใช้งานอย่างไร และยิ่งแทบจะไม่รู้เลยด้วยซ้ำว่ากระดาษที่มีลายเส้นเต็มไปหมดนั้นมีที่มาอย่างไร เส้นต่างๆ เหล่านั้นคืออะไร และทำไมถึงอยู่กันแบบนั้น แต่คราวนี้ไม่ต้องกลัวแล้ว เพราะเราจะค่อยๆ ดูที่มาของมันกันทีละขั้นทีละตอน และก็ไม่เป็นความลับดำมืดสำหรับเพื่อนที่ได้อ่านบทความนี้อีกต่อไป เริ่มกันเลยดีกว่า
แต่ก่อนจะมาดูรายละเอียดกัน ถ้าเราสังเกตแผนภาพของสมิทชาร์ทดีๆ จะเห็นว่ามันมีลักษณะเป็นวงกลม และมีเส้นมากมายอยู่ภายใน แต่ถ้าสังเกตดูเส้นภายในดีๆ จะเห็นว่าสามารถแบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มแรกคือเส้นที่ครบรอบเป็นวงกลมที่ไล่จากใหญ่สุดด้านนอกริมสุดของสมิทชาร์ท ไปถึงวงกลมที่เล็กที่สุดที่อยู่บริเวณกลางด้านขวามือ ส่วนเส้นในสมิทชาร์ทอีกกลุ่มหนึ่งเป็นเส้นที่ไม่ครบเป็นวงกลมแต่เป็นเพียงส่วนของเส้นขอบวงกลมและมีอยู่ทั้งซีกด้านบนและด้านล่างของชาร์ท คราวนี้ล่ะครับที่เราจะมาดูกันว่า เส้นพวกนี้มาได้อย่างไร ทำไมเรียงตัวด้วยรูปร่าง ขนาด อย่างที่เราเห็น
จากบทความที่แล้วเรื่องของทฤษฎีสายนำสัญญาณ เราได้เห็นว่าเราสามารถคำนวณอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากการต่อ
โหลดด้วยสายนำสัญญาณที่มีค่าอิมพิแดนซ์จำเพาะ Z0 และมีความยาว l (แอล) ที่เป็นไปตามสูตร
สมการตามรูปที่ 1 คือสูตรที่ใช้คำนวณอิมพิแดนซ์ที่ตำแหน่งบนสายนำสัญญาณ l ซึ่งสำคัญมากตรงที่เราต้องเข้าใจก่อนว่ามันเป็นฟังก์ชั่นของจำนวนเชิงซ้อน (complex number) คือ มีตัวแปรต้นหรือตัวก่อเหตุเป็น Γ(l) ที่สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ และผลของมันคืออิมพิแดนซ์ Z(l) ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้
เนื่องจากสมการในรูปที่ 1 เป็นสมการที่เราต้องการวาดออกมาเป็นกราฟ แต่จะเห็นว่ามีตัวคูณคือค่าอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0 ติดอยู่ในสมการ ดังนั้นกราฟที่ได้ก็จะต้องขึ้นกับ Z0 อยู่เสมอ ทำให้เราไม่สามารถสร้างภาพกราฟมาตรฐานที่ใช้ได้ทั่วไปอย่างที่ต้องการ จึงมีการใช้วิธี "เทียบฐาน" (ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Normalized) ให้เกิดเป็นมาตรฐานขึ้น โดยการพยายามวาดกราฟของ z (สังเกตว่าเป็นอักษรตัวเล็ก) แทน โดยที่
ให้สังเกตว่า ค่าอิมพิแดนซ์ที่ผ่านการ normalize จะแทนด้วย z ซึ่งเป็นตัวอักษรเล็กและไม่มีหน่วย ด้วยวิธีแบบนี้ เราก็จะคำนวณสิ่งต่างๆ ไปตามปกติ และเมื่อได้คำตอบ z เป็นเท่าใด เมื่อต้องการทราบค่าของ Z(l) ที่แท้จริงก็เอา Z0 ไปคูณกลับเท่านั้นเอง และเราสามารถแสดงค่าอิมพิแดนซ์ที่เทียบฐานแล้ว (normalized impedance) ได้เป็นดังสมการบนสุดในรูปที่ 3 และเมื่อเราคำนวนต่อ โดยที่รู้ว่าสัมประสิทธิการสะท้อนนั้นเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทำให้สามารถคำนวณค่าของ r และ x (ส่วนจริงหรือ real และส่วนจินตภาพหรือ imaginary) ของ "อิมพิแดนซ์เทียบฐาน" z ได้เป็นสมการที่ 1 และ 2 ตามในรูปที่ 3
และเมื่อเราจัดสมการที่ 1 และ 2 ต่อเล็กน้อย เราจะได้สมการ 3 และ 4 ตามลำดับดังแสดงในรูปที่ 4 ซึ่งจะเห็นได้ว่า:
สมการที่ 3 เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ {r/1+r , 0} และมีรัศมี 1/1+r
สมการที่ 4 เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ {1 , 1/x} และมีรัศมี 1/x
และเราสามารถวาดภาพของเส้นจากสมการที่ 3 และ 4 ได้ดังรูปที่ 5
ซึ่งในความเป็นจริงแล้วค่าของสัมประสิทธิการสะท้อนจะมี "ขนาด" ไม่เกิน 1 นั่นคือขอบเขตของความเป็นไปได้ในกราฟจะต้องถูกจำกัดอยู่ด้วยวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย หรือก็คือเส้นสีเขียว r=0(short) ในรูปที่ 5 ซ้ายมือ และทำให้เราได้ Smith Chart ที่เกิดจากการเอาภาพซ้ายและขวาของรูปที่ 5 มาซ้อนกัน ทำให้มีลักษณะดังรูปที่ 6
ถึงตรงนี้ เพื่อนๆ คงพอมองภาพออกแล้วว่า เจ้าแผ่นกระดาษที่มีเส้นเต็มไปหมด (แต่เอาเข้าจริงก็แบ่งออกเป็นเพียงสองกลุ่มเท่านั้นเอง) มีที่มาอย่างไร
สรุปสั้นๆ ง่ายๆ ได้ว่า
"สมิทชาร์ทเป็นระนาบของสัมประสิทธิ์การสะท้อนหรือ Γ (อ่านว่า แกมม่า) ณ จุดหนึ่งๆ บนสายนำสัญญาณ Γ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เราอาจจะเขียนในพิกัดสี่เหลี่ยมเป็น Г = Гre + Гim ก็ได้หรือจะเขียนในพิกัดวงกลมเป็น ІГІ∟มุม ก็ได้ (ІГІ เป็นขนาดของ Г) และแต่ละจุดบนสมิทชาร์ทจะแสดงค่า r (คือ resistance ซึ่งเป็นส่วนจริงหรือ real part ของอิมพิแดนซ์ z) และ x (คือ reactance ซึ่งเป็นส่วนจินตภาพหรือ imaginary part ของอิมพิแดนซ์ z) ณ ตำแหน่งนั้นซึ่งเป็นค่าของ z (โดย z = r +/- jx) ด้วย"
หวังว่า จะพอทำให้เพื่อนๆ มองภาพออกถึงที่มาของสมิทชาร์ท ในความหน้าเราจะมาดูว่าเราสามารถนำมันไปใช้ทำอะไรได้บ้าง โปรดคอยติดตามตอนต่อๆ ไปนะครับ
แต่ก่อนจะมาดูรายละเอียดกัน ถ้าเราสังเกตแผนภาพของสมิทชาร์ทดีๆ จะเห็นว่ามันมีลักษณะเป็นวงกลม และมีเส้นมากมายอยู่ภายใน แต่ถ้าสังเกตดูเส้นภายในดีๆ จะเห็นว่าสามารถแบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มแรกคือเส้นที่ครบรอบเป็นวงกลมที่ไล่จากใหญ่สุดด้านนอกริมสุดของสมิทชาร์ท ไปถึงวงกลมที่เล็กที่สุดที่อยู่บริเวณกลางด้านขวามือ ส่วนเส้นในสมิทชาร์ทอีกกลุ่มหนึ่งเป็นเส้นที่ไม่ครบเป็นวงกลมแต่เป็นเพียงส่วนของเส้นขอบวงกลมและมีอยู่ทั้งซีกด้านบนและด้านล่างของชาร์ท คราวนี้ล่ะครับที่เราจะมาดูกันว่า เส้นพวกนี้มาได้อย่างไร ทำไมเรียงตัวด้วยรูปร่าง ขนาด อย่างที่เราเห็น
จากบทความที่แล้วเรื่องของทฤษฎีสายนำสัญญาณ เราได้เห็นว่าเราสามารถคำนวณอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากการต่อ
โหลดด้วยสายนำสัญญาณที่มีค่าอิมพิแดนซ์จำเพาะ Z0 และมีความยาว l (แอล) ที่เป็นไปตามสูตร
รูปที่ 1 อิมพิแดนซ์ที่ตำแหน่ง
ระยะบนสายนำสัญญาณ l
ระยะบนสายนำสัญญาณ l
สมการตามรูปที่ 1 คือสูตรที่ใช้คำนวณอิมพิแดนซ์ที่ตำแหน่งบนสายนำสัญญาณ l ซึ่งสำคัญมากตรงที่เราต้องเข้าใจก่อนว่ามันเป็นฟังก์ชั่นของจำนวนเชิงซ้อน (complex number) คือ มีตัวแปรต้นหรือตัวก่อเหตุเป็น Γ(l) ที่สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ และผลของมันคืออิมพิแดนซ์ Z(l) ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้
เนื่องจากสมการในรูปที่ 1 เป็นสมการที่เราต้องการวาดออกมาเป็นกราฟ แต่จะเห็นว่ามีตัวคูณคือค่าอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0 ติดอยู่ในสมการ ดังนั้นกราฟที่ได้ก็จะต้องขึ้นกับ Z0 อยู่เสมอ ทำให้เราไม่สามารถสร้างภาพกราฟมาตรฐานที่ใช้ได้ทั่วไปอย่างที่ต้องการ จึงมีการใช้วิธี "เทียบฐาน" (ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Normalized) ให้เกิดเป็นมาตรฐานขึ้น โดยการพยายามวาดกราฟของ z (สังเกตว่าเป็นอักษรตัวเล็ก) แทน โดยที่
รูปที่ 2 การเทียบฐานหรือการ
Normalize อิมพิแดนซ์กับ Z0
Normalize อิมพิแดนซ์กับ Z0
ให้สังเกตว่า ค่าอิมพิแดนซ์ที่ผ่านการ normalize จะแทนด้วย z ซึ่งเป็นตัวอักษรเล็กและไม่มีหน่วย ด้วยวิธีแบบนี้ เราก็จะคำนวณสิ่งต่างๆ ไปตามปกติ และเมื่อได้คำตอบ z เป็นเท่าใด เมื่อต้องการทราบค่าของ Z(l) ที่แท้จริงก็เอา Z0 ไปคูณกลับเท่านั้นเอง และเราสามารถแสดงค่าอิมพิแดนซ์ที่เทียบฐานแล้ว (normalized impedance) ได้เป็นดังสมการบนสุดในรูปที่ 3 และเมื่อเราคำนวนต่อ โดยที่รู้ว่าสัมประสิทธิการสะท้อนนั้นเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทำให้สามารถคำนวณค่าของ r และ x (ส่วนจริงหรือ real และส่วนจินตภาพหรือ imaginary) ของ "อิมพิแดนซ์เทียบฐาน" z ได้เป็นสมการที่ 1 และ 2 ตามในรูปที่ 3
รูปที่ 3 การคำนวณส่วนจริงและจินตภาพ
ของ normalized impednace z
และเมื่อเราจัดสมการที่ 1 และ 2 ต่อเล็กน้อย เราจะได้สมการ 3 และ 4 ตามลำดับดังแสดงในรูปที่ 4 ซึ่งจะเห็นได้ว่า:
สมการที่ 3 เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ {r/1+r , 0} และมีรัศมี 1/1+r
สมการที่ 4 เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ {1 , 1/x} และมีรัศมี 1/x
รูปที่ 4 เราสามารถปรับสมการ 1 และ 2 ให้
กลายเป็นสมการวงกลม 3 และ 4 ตามลำดับ
และเราสามารถวาดภาพของเส้นจากสมการที่ 3 และ 4 ได้ดังรูปที่ 5
รูปที่ 5 เส้นกราฟจากสมการวงกลม
3 และ 4 จะได้วงกลมจำนวนสองชุด
ซึ่งในความเป็นจริงแล้วค่าของสัมประสิทธิการสะท้อนจะมี "ขนาด" ไม่เกิน 1 นั่นคือขอบเขตของความเป็นไปได้ในกราฟจะต้องถูกจำกัดอยู่ด้วยวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย หรือก็คือเส้นสีเขียว r=0(short) ในรูปที่ 5 ซ้ายมือ และทำให้เราได้ Smith Chart ที่เกิดจากการเอาภาพซ้ายและขวาของรูปที่ 5 มาซ้อนกัน ทำให้มีลักษณะดังรูปที่ 6
รุปที่ 6 สมิทชาร์ทเกิดจากการซ้อนกัน
ของเส้นวงกลมต่างๆ จำนวนสองชุด
ถึงตรงนี้ เพื่อนๆ คงพอมองภาพออกแล้วว่า เจ้าแผ่นกระดาษที่มีเส้นเต็มไปหมด (แต่เอาเข้าจริงก็แบ่งออกเป็นเพียงสองกลุ่มเท่านั้นเอง) มีที่มาอย่างไร
สรุปสั้นๆ ง่ายๆ ได้ว่า
"สมิทชาร์ทเป็นระนาบของสัมประสิทธิ์การสะท้อนหรือ Γ (อ่านว่า แกมม่า) ณ จุดหนึ่งๆ บนสายนำสัญญาณ Γ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เราอาจจะเขียนในพิกัดสี่เหลี่ยมเป็น Г = Гre + Гim ก็ได้หรือจะเขียนในพิกัดวงกลมเป็น ІГІ∟มุม ก็ได้ (ІГІ เป็นขนาดของ Г) และแต่ละจุดบนสมิทชาร์ทจะแสดงค่า r (คือ resistance ซึ่งเป็นส่วนจริงหรือ real part ของอิมพิแดนซ์ z) และ x (คือ reactance ซึ่งเป็นส่วนจินตภาพหรือ imaginary part ของอิมพิแดนซ์ z) ณ ตำแหน่งนั้นซึ่งเป็นค่าของ z (โดย z = r +/- jx) ด้วย"
รูปที่ 7 จุดบนสมิทชาร์ทแสดงถึงสัมประสิทธิ
การสะท้อนและอิมพิแดนซ์ที่มองเห็น
ณ ตำแหน่งนั้น
หวังว่า จะพอทำให้เพื่อนๆ มองภาพออกถึงที่มาของสมิทชาร์ท ในความหน้าเราจะมาดูว่าเราสามารถนำมันไปใช้ทำอะไรได้บ้าง โปรดคอยติดตามตอนต่อๆ ไปนะครับ
©Jitrayut Chunnabhata, 2016.
This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is discouraged.
© 2016 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ
เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และหลีกเลี่ยงการคัดบอกเนื้อหาไปเผยแพร่ซ้ำโดยตรง
