How to work with Smith Chart
โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)
หลังจากที่เรารู้ที่มาของเจ้าสมิทชาร์ทในบทความ ที่มาของ Smith Chart กันไปแล้ว คราวนี้เราก็จะมาดูว่าจะเอามันไปใช้งานได้อย่างไร แต่ก่อนจะถึงตรงนั้นผมอยากสรุปสิ่งที่เราเห็นบนสมิทชาร์ทก่อนอีกสักครั้ง
1. โดยพื้นฐานแล้ว สมิทชาร์ทมีสัณฐานเป็นรูปวงกลม มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย
2. จุดต่างๆ บนสมิทชาร์ททั้งหมด โดยเริ่มแรกคือสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ (Γ เป็นตัวอักษรกรีกอ่านว่า แกมมา) ที่จุดใดๆ บนสายนำสัญญาณ (เริ่มตั้งแต่ต้นทางคือจุดที่ต่อกับโหลด ไปถึงจุดสังเกตและ/หรือที่ต่อกับแหล่งสัญญาณ)
3. สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ ประกอบไปด้วยขนาดและมุม (คือเป็นจำนวนเชิงซ้อน มีส่วนจริงและจินตภาพ มีขนาดได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1) ที่เราสามารถเขียนได้ในหลายรูปแบบ (บนสมิทชาร์ทนั้นค่าของ Г ดูจะเป็นมิตรกับพิกัดวงกลมได้ดีกว่า อ่านไปเรื่อยๆ จะเห็นเองครับ)
สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г = Гre + j Гim --- เป็นการเขียนในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate)
ขนาดของ Г เขียนแทนด้วย ІГІ = (Гre2 + Гim2)1/2
มุมของ Г = tan-1 (Гim / Гre)
Г = ІГІ∟มุม --- เป็นการเขียนในพิกัดวงกลม (circular coordinate)
4. นอกจากสัมประสิทธิการสะท้อนกลับแล้ว ที่จุดใดๆ บนสมิทชาร์ทจะแสดงค่า z (z ไม่มีหน่วย และเขียนด้วยอักษรเล็ก หมายถึง normalized impednace คือเป็นค่าอิมพิแดนซ์ที่เทียบฐานกับ Z0 หรืออิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณที่ใช้ มีหน่วยเป็นโอห์ม) ที่สัมพันธ์กับสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ คือสามารถอ่านค่าของ r และ x ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ท (สังเกตว่า r และ x เขียนด้วยตัวอักษรเล็ก และไม่มีหน่วย) โดย
z = r + j x (ไม่มีหน่วย)
Z = Z0 (z) Ω
Z = R + jX Ω
โดย Z (ตัวอักษรใหญ่) คืออิมพิแดนซ์จริง คิดได้โดยเอา Z0 (มีหน่วยเป็นโอห์ม เช่น 50 Ω) คูณ z (ซึ่งไม่มีหน่วย) กลับเข้าไป (คือทำตรงกันข้ามกับตอนที่เรา normalized มันนั่นเอง) ก็จะได้ Z ที่มีหน่วยเป็น Ω
คราวนี้เราก็จะค่อยๆ มาดูว่าเราจะเอาสมิทชาร์ทไปใช้งานอะไรได้บ้าง เราจะมาเริ่มต้นด้วยการดูว่าถ้าเราเปลี่ยนจุดสังเกตบนสายนำสัญญาณ หรือเรียกว่าถ้าเอาสายนำสัญญาณไปต่อกับโหลดหรือสายอากาศที่ไม่แมทช์ (คือมีการสะท้อนกลับ นั่นคือ Г ≠ 0) แล้วจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง
อิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนไปตามความยาวของสายนำสัญญาณ
สมิทชาร์ทสามารถให้คำตอบเราได้อย่างง่ายดายในหลายอย่าง แต่อย่างแรกที่เราจะมาดูกันก่อนก็คือการหาอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อเราต่อโหลดด้วยสายนำสัญญาณความยาวต่างๆ กัน ลองดูตัวอย่างใน ภาพที่ 1 ที่แสดงการต่อโหลด ZL ที่อาจจะเป็นสายอากาศที่มีอิมพิแดนซ์ไม่แมทช์กับสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์จำเพาะ Z0 ทำให้เกิดการสะท้อนและมีสัมประสิทธิการสะท้อนที่มีค่าไม่เท่ากับ 0 เกิดขึ้น และมีค่าเป็น ΓL ที่ตำแหน่งต่อเชื่อม
เมื่อเราต่อสายนำสัญญาณนี้ออกมาจากโหลด ZL ด้วยความยาวต่างๆ กันแล้วมองกลับเข้าไป สิ่งที่เกิดขึ้นคือสัมประสิทธิการสะท้อนจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับความยาวของสายนำสัญญาณนั้น (ความยาวในที่นี้ จะวัดกันเป็น "ความยาวคลื่น" และจะถูกแปลงไปสัมพันธ์กับ "องศาที่หมุนไป" ของสัมประสิทธิการสะท้อนตามในภาพ) จากนั้นเมื่อเราได้สัมประสิทธิการสะท้อนค่าใหม่ที่ความยาวสายนำสัญญาณต่างกัน เราก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ที่เป็น ณ จุดนั้นๆ ได้ (โอ้ว ช่างง่ายเหลือเกิน)
ในภาพที่ 1 จะเห็นว่า
- ที่จุดต่อเชื่อมกับโหลด มีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น ΓL
- ที่ระยะห่างจากโหลด l1 มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปและมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ1
- ที่ระยะห่างจากโหลด l2 มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปอีกและมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ2
- โดยการหมุนต่างๆ นี้ ขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อน ǀΓǀ จะมีขนาดเท่าเดิม การหมุนที่เกิดขึ้นจึงเป็นวงกลมรัศมีเท่ากับ ǀΓǀ และสามารถใช้วงเวียนช่วยในการขีดเส้นที่หมุนนี้ได้
- และหมุนเช่นนี้เรื่อยไปเมื่อสายนำสัญญาณยาวขึ้น ห่างจากโหลด ZL มากขึ้น มากขึ้น... จนกระทั่งที่ระยะห่างจากโหลด l4 มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปจนมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ4
- ณ จุดความยาวสายนำสัญญษณ l4 จะทำให้ "อ่าน" ค่าอิมพิแดนซ์แบบเทียบฐาน (normalized impedace) ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ทได้เป็น z = r+jx และเมื่อคูณกลับด้วย Z0 ก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ (Zin) ได้
เป็นไงครับ น่าสนใจใช่ไหมล่ะครับ เราค่อยๆ มาดูเบื้องหลังของสิ่งที่เล่าไปดีกว่าว่า ทำไมต้องหมุน หมุนเท่าไร ไกลแค่ไหน หมุนจากไหนไปไหน โดยมาดูตัวอย่างจริงกัน
ลองดูภาพที่ 2 ที่เราต่อโหลด ZL ขนาด 25Ω เข้ากับสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์จำเพาะ 50Ω สิ่งที่เกิดขึ้นคือการไม่แมทช์ และเกิดการสะท้อนที่จุดต่อเชื่อม ΓL(l=0) ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีคำนวณคือ ΓL(l=0) = (ZL-Z0)/(ZL+Z0) หรือจะใช้วิธีทางสมิทชาร์ทโดยการหาร ZL (ที่มีค่าเป็น 25 + j0 Ω) ด้วย Z0 (มีค่าเป็น 50Ω) และได้เป็นค่าอิมพิแดนซ์แบบเทียบฐาน (normalized impedance) z = 0.5 + j0 (ไม่มีหน่วย) จากนั้นก็ทำเครื่องหมายลงไปบนสมิทชาร์ท ซึ่งจะสามารถอ่านค่าตรงๆ ในพิกัดวงกลมได้เป็น ΓL = 0.5∟180ᴼ = 0.5ej180ᴼ = 0.5ejπ หรือในพิกัดสี่เหลี่ยมคือ ΓL = -0.5 + j0 โอห์ม (จะว่าไป ไม่ว่าจะอ่านตรงๆ หรือจะคำนวณ ก็จะได้ค่าเดียวกันทั้งหมด) ดูภาพที่ 3
จากการต่อในภาพที่ 2 เมื่อเราพยายามมองดูค่าอิมพิแดนซ์ที่ปลายของสายนำสัญญาณความยาว d ที่ยาว (3/16)λ จะทำให้อิมพิแดนซ์ที่สุดสังเกตเปลี่ยนไป ลองดูสมการต่อไปนี้
ที่จุดสังเกต l=d
Γ(l=d) = ΓL e-j2kd
โดย k เป็นค่าคงตัวของเฟส (phase constant)
k = 2π/λ (หน่วย rad/m หรือ เรเดียนต่อเมตร)
ดังนั้น
Γin = Γ(l=d) = ΓL e-j4πd/λ
สังเกตดีๆ ว่ามีเครื่องหมายลบ อยู่ใน e-j4πd/λ นั่นคือเมื่อจุดสังเกตเลื่อนห่างจากโหลดมากขึ้น มุมมจะลดลง คือต้องหมุนสัมประสิทธิการสะท้อน Γ ตามเข็มนาฬิกาเพื่อลดมุมลงนั่นเอง (อ่ะ ได้คำตอบแล้วว่าทำไมต้องหมุนตามเข็มนาฬิกา)
การคำนวณใน ภาพที่4 จะเห็นได้ว่าเมื่อเราต่อสายนำสัญญาณความยาว (3/16)λ ความยาวนั้นจะคิดเป็นมุม 135ᴼ (คิดง่ายๆ ว่าถ้ายาว ¼λ จะหมุนไป 180ᴼ หรือครึ่งรอบ ถ้าความยาวมากหรือน้อยกว่านั้นก็เทียบเป็นองศามากน้อยตามสัดส่วนกันไป (ถ้าสายนำสัญญาณยาวเกิน ½λ ก็จะหมุนเกิน 360ᴼ หรือหนึ่งรอบ อาจจะมุนวนหลายรอบก็ได้ ซึ่งก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นปกติเนื่องจากความยาวของสายนำสัญญาณก็ยาวเกิน ½λ ได้อยู่แล้ว)
ในภาพที่ 4 จะเห็นว่าเมื่อความยาวสายนำสัญญาณเป็น (3/16)λ จะทำให้สัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่ปลายสายนำสัญญาณมีค่าเป็น Γin = Γ(l=d) = 0.5∟(180ᴼ-135ᴼ) = 0.5∟45ᴼ ในพิกัดวงกลมและเป็น 0.3535 + j0.3535 ในพิกัดสี่เหลี่ยม และที่จุดนั้นเราสามารถอ่านค่าของ z = r + jx ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ทเป็น z ≈ 1.38 + j 1.30 และสามารถคำนวณค่าของอิมพิแดนซ์ขาเข้า Zin โดยการเอา Z0 คูณกลับเข้าไปกับค่า normalized impedance z
Zin = Z0 (z) ≈ 50 Ω (1.38 + j 1.30) ≈ 69 + j 65 Ω
(โดยประมาณ เนื่องจากเป็นการอ่านจากชาร์ท ที่ผิดพลาดได้บ้าง)
จะเห็นว่าวิธีใช้งานสมิทชาร์ทเพื่อการหาอิมพิแดนซ์ที่เกิดขึ้นตามความยาวของสายนำสัญญาณ (นี่แค่ตัวอย่างเดียว มันทำอย่างอื่นได้อีกเยอะครับ ขอบอก) มีวิธีการที่สั้นมาก ถึงจะมีการคำนวณก็เพียงเล็กน้อยเท่านั้นและไม่ซับซ้อนอะไรมาก ที่ผ่านมาอาจจะเห็นว่ามากมายแค่เพราะผมให้ดูหลายวิธีไปในคราวเดียว และเทียบว่าผลมันเท่ากันเท่านั้นเอง แต่ที่จริงแล้วคิดวิธีเดียวก็พอ
สรุปวิธีการใช้งาน Smith Chart เพื่อหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ
หลังจากที่เรารู้หลักการแล้ว เรามาสรุปการใช้สมิทชาร์ทเพื่อหาอิมพิแดนซ์ที่เกิดขึ้นจากการต่อโหลดที่ไม่แมทช์กับสายนำสัญญาณ (คือ อิมพิแดนซ์ของโหลด ZL ไม่เท่ากับอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0) ที่มีความยาวต่างๆ กัน ดังนี้
วิธีใช้ Smith Chart เพื่อหาค่า VSWR
สมิทชาร์ทโด่งดังและมีประโยชน์มากก็เพราะมีประโยชน์หลายอย่าง นอกจากการใช้หาอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนไปจากความยาวของสายนำสัญญาณแล้วก็ยังใช้หาค่า VSWR ได้โดยที่ไม่ต้องคำนวณอีกด้วย (คำนวณแหละ แต่นิดเดียว เลยง่ายกว่า)
หลักการนั้นง่ายมากทีเดียว ง่ายจนไม่คิดว่ามันง่ายขนาดนี้คือ เมื่อเราหา Γ ได้, ทำเครื่องหมายลงบนสมิทชาร์ท, และใช้วงเวียนวาดวงกลมแล้ว "ขนาด" ความใหญ่ของวงกลมนี้แหละเป็นตัวบอกว่า VSWR มีค่าเท่าไร ถ้าวงกลมมีขนาดเล็ก VSWR ก็มีค่าต่ำ (ดี) แต่ถ้าวงกลมมีขนาดใหญ่ VSWR จะมีค่าสูง (ไม่ดี) นั่นเอง
ขั้นตอนนั้นไม่ยากเลย เพียงทำเหมือนที่เคยทำมาคือ
ยังไม่หมด ครับยังไม่หมด สมิทชาร์ทำอย่างอื่นได้อีก และมีประโยชน์ยิ่งขึ้นไปอีก ไว้เรามาดูเพิ่มกันในบทความต่อไปนะครับ
1. โดยพื้นฐานแล้ว สมิทชาร์ทมีสัณฐานเป็นรูปวงกลม มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย
2. จุดต่างๆ บนสมิทชาร์ททั้งหมด โดยเริ่มแรกคือสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ (Γ เป็นตัวอักษรกรีกอ่านว่า แกมมา) ที่จุดใดๆ บนสายนำสัญญาณ (เริ่มตั้งแต่ต้นทางคือจุดที่ต่อกับโหลด ไปถึงจุดสังเกตและ/หรือที่ต่อกับแหล่งสัญญาณ)
3. สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ ประกอบไปด้วยขนาดและมุม (คือเป็นจำนวนเชิงซ้อน มีส่วนจริงและจินตภาพ มีขนาดได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1) ที่เราสามารถเขียนได้ในหลายรูปแบบ (บนสมิทชาร์ทนั้นค่าของ Г ดูจะเป็นมิตรกับพิกัดวงกลมได้ดีกว่า อ่านไปเรื่อยๆ จะเห็นเองครับ)
สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г = Гre + j Гim --- เป็นการเขียนในพิกัดสี่เหลี่ยม (rectangular coordinate)
ขนาดของ Г เขียนแทนด้วย ІГІ = (Гre2 + Гim2)1/2
มุมของ Г = tan-1 (Гim / Гre)
Г = ІГІ∟มุม --- เป็นการเขียนในพิกัดวงกลม (circular coordinate)
4. นอกจากสัมประสิทธิการสะท้อนกลับแล้ว ที่จุดใดๆ บนสมิทชาร์ทจะแสดงค่า z (z ไม่มีหน่วย และเขียนด้วยอักษรเล็ก หมายถึง normalized impednace คือเป็นค่าอิมพิแดนซ์ที่เทียบฐานกับ Z0 หรืออิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณที่ใช้ มีหน่วยเป็นโอห์ม) ที่สัมพันธ์กับสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ คือสามารถอ่านค่าของ r และ x ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ท (สังเกตว่า r และ x เขียนด้วยตัวอักษรเล็ก และไม่มีหน่วย) โดย
z = r + j x (ไม่มีหน่วย)
Z = Z0 (z) Ω
Z = R + jX Ω
โดย Z (ตัวอักษรใหญ่) คืออิมพิแดนซ์จริง คิดได้โดยเอา Z0 (มีหน่วยเป็นโอห์ม เช่น 50 Ω) คูณ z (ซึ่งไม่มีหน่วย) กลับเข้าไป (คือทำตรงกันข้ามกับตอนที่เรา normalized มันนั่นเอง) ก็จะได้ Z ที่มีหน่วยเป็น Ω
คราวนี้เราก็จะค่อยๆ มาดูว่าเราจะเอาสมิทชาร์ทไปใช้งานอะไรได้บ้าง เราจะมาเริ่มต้นด้วยการดูว่าถ้าเราเปลี่ยนจุดสังเกตบนสายนำสัญญาณ หรือเรียกว่าถ้าเอาสายนำสัญญาณไปต่อกับโหลดหรือสายอากาศที่ไม่แมทช์ (คือมีการสะท้อนกลับ นั่นคือ Г ≠ 0) แล้วจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง
อิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนไปตามความยาวของสายนำสัญญาณ
สมิทชาร์ทสามารถให้คำตอบเราได้อย่างง่ายดายในหลายอย่าง แต่อย่างแรกที่เราจะมาดูกันก่อนก็คือการหาอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อเราต่อโหลดด้วยสายนำสัญญาณความยาวต่างๆ กัน ลองดูตัวอย่างใน ภาพที่ 1 ที่แสดงการต่อโหลด ZL ที่อาจจะเป็นสายอากาศที่มีอิมพิแดนซ์ไม่แมทช์กับสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์จำเพาะ Z0 ทำให้เกิดการสะท้อนและมีสัมประสิทธิการสะท้อนที่มีค่าไม่เท่ากับ 0 เกิดขึ้น และมีค่าเป็น ΓL ที่ตำแหน่งต่อเชื่อม
ภาพที่ 1 สัมประสิทธิการสะท้อน Γ จะเปลี่ยนไปตามระยะทางที่ห่างจากโหลด
คือเคลื่อนที่เป็นวงกลมบนสมิทชาร์ทตามเข็มนาฬิกาเมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับ ǀΓǀ
เมื่อเราต่อสายนำสัญญาณนี้ออกมาจากโหลด ZL ด้วยความยาวต่างๆ กันแล้วมองกลับเข้าไป สิ่งที่เกิดขึ้นคือสัมประสิทธิการสะท้อนจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับความยาวของสายนำสัญญาณนั้น (ความยาวในที่นี้ จะวัดกันเป็น "ความยาวคลื่น" และจะถูกแปลงไปสัมพันธ์กับ "องศาที่หมุนไป" ของสัมประสิทธิการสะท้อนตามในภาพ) จากนั้นเมื่อเราได้สัมประสิทธิการสะท้อนค่าใหม่ที่ความยาวสายนำสัญญาณต่างกัน เราก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ที่เป็น ณ จุดนั้นๆ ได้ (โอ้ว ช่างง่ายเหลือเกิน)
ในภาพที่ 1 จะเห็นว่า
- ที่จุดต่อเชื่อมกับโหลด มีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น ΓL
- ที่ระยะห่างจากโหลด l1 มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปและมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ1
- ที่ระยะห่างจากโหลด l2 มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปอีกและมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ2
- โดยการหมุนต่างๆ นี้ ขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อน ǀΓǀ จะมีขนาดเท่าเดิม การหมุนที่เกิดขึ้นจึงเป็นวงกลมรัศมีเท่ากับ ǀΓǀ และสามารถใช้วงเวียนช่วยในการขีดเส้นที่หมุนนี้ได้
- และหมุนเช่นนี้เรื่อยไปเมื่อสายนำสัญญาณยาวขึ้น ห่างจากโหลด ZL มากขึ้น มากขึ้น... จนกระทั่งที่ระยะห่างจากโหลด l4 มุมของ Γ จะเปลี่ยน (หมุน) ไปจนมีสัมประสิทธิการสะท้อนเป็น Γ4
- ณ จุดความยาวสายนำสัญญษณ l4 จะทำให้ "อ่าน" ค่าอิมพิแดนซ์แบบเทียบฐาน (normalized impedace) ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ทได้เป็น z = r+jx และเมื่อคูณกลับด้วย Z0 ก็จะสามารถหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ (Zin) ได้
เป็นไงครับ น่าสนใจใช่ไหมล่ะครับ เราค่อยๆ มาดูเบื้องหลังของสิ่งที่เล่าไปดีกว่าว่า ทำไมต้องหมุน หมุนเท่าไร ไกลแค่ไหน หมุนจากไหนไปไหน โดยมาดูตัวอย่างจริงกัน
ภาพที่ 2 ต่อโหลดขนาด 25Ω เข้ากับสายนำสัญญาณ Z0=50Ω และหาอิมพิแดนซ์ Zin
ลองดูภาพที่ 2 ที่เราต่อโหลด ZL ขนาด 25Ω เข้ากับสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์จำเพาะ 50Ω สิ่งที่เกิดขึ้นคือการไม่แมทช์ และเกิดการสะท้อนที่จุดต่อเชื่อม ΓL(l=0) ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีคำนวณคือ ΓL(l=0) = (ZL-Z0)/(ZL+Z0) หรือจะใช้วิธีทางสมิทชาร์ทโดยการหาร ZL (ที่มีค่าเป็น 25 + j0 Ω) ด้วย Z0 (มีค่าเป็น 50Ω) และได้เป็นค่าอิมพิแดนซ์แบบเทียบฐาน (normalized impedance) z = 0.5 + j0 (ไม่มีหน่วย) จากนั้นก็ทำเครื่องหมายลงไปบนสมิทชาร์ท ซึ่งจะสามารถอ่านค่าตรงๆ ในพิกัดวงกลมได้เป็น ΓL = 0.5∟180ᴼ = 0.5ej180ᴼ = 0.5ejπ หรือในพิกัดสี่เหลี่ยมคือ ΓL = -0.5 + j0 โอห์ม (จะว่าไป ไม่ว่าจะอ่านตรงๆ หรือจะคำนวณ ก็จะได้ค่าเดียวกันทั้งหมด) ดูภาพที่ 3
ภาพที่ 3 สัมประสิทธิการสะท้อนที่จุดเชื่อมต่อโหลด ǀΓǀ หาโดยการ
คำนวณก็ได้หรือจะโดยวิธีหา normalized impedance z
แล้วทำเครื่องหมายลงในสมิทชาร์ทก็ได้ จะได้ผลเท่ากันทั้งหมด
จากการต่อในภาพที่ 2 เมื่อเราพยายามมองดูค่าอิมพิแดนซ์ที่ปลายของสายนำสัญญาณความยาว d ที่ยาว (3/16)λ จะทำให้อิมพิแดนซ์ที่สุดสังเกตเปลี่ยนไป ลองดูสมการต่อไปนี้
ที่จุดสังเกต l=d
Γ(l=d) = ΓL e-j2kd
โดย k เป็นค่าคงตัวของเฟส (phase constant)
k = 2π/λ (หน่วย rad/m หรือ เรเดียนต่อเมตร)
ดังนั้น
Γin = Γ(l=d) = ΓL e-j4πd/λ
สังเกตดีๆ ว่ามีเครื่องหมายลบ อยู่ใน e-j4πd/λ นั่นคือเมื่อจุดสังเกตเลื่อนห่างจากโหลดมากขึ้น มุมมจะลดลง คือต้องหมุนสัมประสิทธิการสะท้อน Γ ตามเข็มนาฬิกาเพื่อลดมุมลงนั่นเอง (อ่ะ ได้คำตอบแล้วว่าทำไมต้องหมุนตามเข็มนาฬิกา)
ภาพที่ 4 การคำนวณหา Zin ที่ระยะ d=(3/16)λ โดยการ "หมุน" Γ
เพื่อหา Γin
ไปเป็นมุมเท่ากับความยาว (3/16)λ หรือ 135ᴼ
การคำนวณใน ภาพที่4 จะเห็นได้ว่าเมื่อเราต่อสายนำสัญญาณความยาว (3/16)λ ความยาวนั้นจะคิดเป็นมุม 135ᴼ (คิดง่ายๆ ว่าถ้ายาว ¼λ จะหมุนไป 180ᴼ หรือครึ่งรอบ ถ้าความยาวมากหรือน้อยกว่านั้นก็เทียบเป็นองศามากน้อยตามสัดส่วนกันไป (ถ้าสายนำสัญญาณยาวเกิน ½λ ก็จะหมุนเกิน 360ᴼ หรือหนึ่งรอบ อาจจะมุนวนหลายรอบก็ได้ ซึ่งก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นปกติเนื่องจากความยาวของสายนำสัญญาณก็ยาวเกิน ½λ ได้อยู่แล้ว)
ในภาพที่ 4 จะเห็นว่าเมื่อความยาวสายนำสัญญาณเป็น (3/16)λ จะทำให้สัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่ปลายสายนำสัญญาณมีค่าเป็น Γin = Γ(l=d) = 0.5∟(180ᴼ-135ᴼ) = 0.5∟45ᴼ ในพิกัดวงกลมและเป็น 0.3535 + j0.3535 ในพิกัดสี่เหลี่ยม และที่จุดนั้นเราสามารถอ่านค่าของ z = r + jx ได้โดยตรงจากสมิทชาร์ทเป็น z ≈ 1.38 + j 1.30 และสามารถคำนวณค่าของอิมพิแดนซ์ขาเข้า Zin โดยการเอา Z0 คูณกลับเข้าไปกับค่า normalized impedance z
Zin = Z0 (z) ≈ 50 Ω (1.38 + j 1.30) ≈ 69 + j 65 Ω
(โดยประมาณ เนื่องจากเป็นการอ่านจากชาร์ท ที่ผิดพลาดได้บ้าง)
จะเห็นว่าวิธีใช้งานสมิทชาร์ทเพื่อการหาอิมพิแดนซ์ที่เกิดขึ้นตามความยาวของสายนำสัญญาณ (นี่แค่ตัวอย่างเดียว มันทำอย่างอื่นได้อีกเยอะครับ ขอบอก) มีวิธีการที่สั้นมาก ถึงจะมีการคำนวณก็เพียงเล็กน้อยเท่านั้นและไม่ซับซ้อนอะไรมาก ที่ผ่านมาอาจจะเห็นว่ามากมายแค่เพราะผมให้ดูหลายวิธีไปในคราวเดียว และเทียบว่าผลมันเท่ากันเท่านั้นเอง แต่ที่จริงแล้วคิดวิธีเดียวก็พอ
สรุปวิธีการใช้งาน Smith Chart เพื่อหาอิมพิแดนซ์ที่ปลายสายนำสัญญาณ
หลังจากที่เรารู้หลักการแล้ว เรามาสรุปการใช้สมิทชาร์ทเพื่อหาอิมพิแดนซ์ที่เกิดขึ้นจากการต่อโหลดที่ไม่แมทช์กับสายนำสัญญาณ (คือ อิมพิแดนซ์ของโหลด ZL ไม่เท่ากับอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0) ที่มีความยาวต่างๆ กัน ดังนี้
ภาพที่ 5 ขั้นตอนการใช้สมิทชาร์ทหาอิมพิแดนซ์ Zin ที่ปลายสายนำสัญญาณความยาว d
- คำนวณหาค่าอิมพิแดนซ์เทียบฐานหรือ normalized impedance Z (เขียนด้วย Z ตัวเล็กและไม่มีหน่วย) โดยการหารโหลด ZL ด้วยอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0 จากนั้นทำเครื่องหมายลงบนสมิทชาร์ทในตำแหน่ง Z
- คำนวณหามุมที่จะต้อง "หมุน" สัมประสิทธิการสะท้อน Γ โดยคำนวณจากความยาวทางไฟฟ้าของสายนำสัญญาณว่าเป็นกี่ความยาวคลื่น (กี่ λ) จากนั้นคำนวณว่าเป็นมุมกี่องศาจาก 4πd/λ (โดย d เป็นความยาวในหน่วย λ และแทนค่า π ด้วย 180ᴼ) หรือจะเทียบเอาว่าความยาว ¼λ คือ 180ᴼ (ครึ่งรอบ) ก็ได้ แล้วคำนวณเป็นองศาออกมา จากนั้น "หมุน" สัมประสิทธิการสะท้อน Γ ไปเป็นมุมที่คำนวณไว้โดยใช้วงเวียนช่วยในการวาดรูปวงกลม (ต้องกลมจริงๆ ไม่เช่นนั้นผลที่ได้จะผิดเพี้ยนไป)
- จะได้ตำแหน่งของสัมประสิทธิการสะท้อน Γin ที่ตำแหน่งปลายสายด้านขาเข้า อ่านค่าของ normalized impedance Z ที่ตำแหน่งนั้นจากเส้น r และ x บนสมิทชาร์ทได้เป็น z = r + jx และคูณด้วย Z0 กลับเข้าไป จะได้อิมพิแดนซ์ที่มองเข้าไปที่ปลายสายนำสัญญาณ Zin
วิธีใช้ Smith Chart เพื่อหาค่า VSWR
สมิทชาร์ทโด่งดังและมีประโยชน์มากก็เพราะมีประโยชน์หลายอย่าง นอกจากการใช้หาอิมพิแดนซ์ที่เปลี่ยนไปจากความยาวของสายนำสัญญาณแล้วก็ยังใช้หาค่า VSWR ได้โดยที่ไม่ต้องคำนวณอีกด้วย (คำนวณแหละ แต่นิดเดียว เลยง่ายกว่า)
หลักการนั้นง่ายมากทีเดียว ง่ายจนไม่คิดว่ามันง่ายขนาดนี้คือ เมื่อเราหา Γ ได้, ทำเครื่องหมายลงบนสมิทชาร์ท, และใช้วงเวียนวาดวงกลมแล้ว "ขนาด" ความใหญ่ของวงกลมนี้แหละเป็นตัวบอกว่า VSWR มีค่าเท่าไร ถ้าวงกลมมีขนาดเล็ก VSWR ก็มีค่าต่ำ (ดี) แต่ถ้าวงกลมมีขนาดใหญ่ VSWR จะมีค่าสูง (ไม่ดี) นั่นเอง
ภาพที่ 6 การหาค่า VSWR โดยใช้สมิทชาร์ท
ขั้นตอนนั้นไม่ยากเลย เพียงทำเหมือนที่เคยทำมาคือ
- คำนวณหา normalized impedance Z โดยการหารโหลด ZL ด้วยอิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Z0 ก็จะได้ z = r ± jx (x มีค่าเป็นบวกเมื่อโหลดแสดงความเหนี่ยวนำด้วย และอาจจะมีค่าเป็นลบก็ได้ในกรณีที่โหลดแสดงความเป็นตัวเก็บประจุปนอยู่)
- จากนั้นกำหนดตำแหน่งของ normalized impedance Z ลงไปบนสมิทชาร์ท
- ใช้วงเวียนวาดวงกลมให้ผ่านจุด normalized impedance Z โดยมีศูนย์กลางที่ Γ=0
- ลากเส้นสัมผัสขอบของวงกลมจากจุดที่วงกลมตัดกับแกนนอนของ Γ ลงมาในแนวดิ่ง จนตัดกับสเกลด้านล่าง (เสกลด้านล่างนี้อาจจะไม่มีมาตรฐานตายตัวนัก ไม่เหมือนในส่วนของวงกลมสมิทชาร์ท และมีทั้งด้านล่างของฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของวงกลม ในทางปฏิบัติเราก็เลือกลากเส้นลงมาตัดเสกลสำหรับหาค่า VSWR ของสมิทชาร์ทที่เราใช้ เพราะสมิทชาร์ทที่มาจากแต่ละแหล่งอาจจะวางสเกลต่างๆ ไว้ต่างตำแหน่งกันได้)
- อ่านค่า VSWR ที่สเกลด้านล่าง (ในภาพอ่านได้ประมาณ 1.8:1)
ยังไม่หมด ครับยังไม่หมด สมิทชาร์ทำอย่างอื่นได้อีก และมีประโยชน์ยิ่งขึ้นไปอีก ไว้เรามาดูเพิ่มกันในบทความต่อไปนะครับ
©Jitrayut Chunnabhata, 2016.
This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is discouraged.
© 2016 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ
เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และหลีกเลี่ยงการคัดบอกเนื้อหาไปเผยแพร่ซ้ำโดยตรง
