Demystifying MoM: The Engine Behind Antenna Modeling Software
โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)
การทำงานของสายอากาศและความจำเป็นของโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ
ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม สายอากาศ (Antenna) ไม่ใช่แค่ท่อนโลหะธรรมดา แต่เป็น "อุปกรณ์แปลงรูปพลังงาน" ทำหน้าที่เปลี่ยนพลังงานไฟฟ้ากระแสสลับความถี่สูง (RF Current) ที่วิ่งอยู่ในตัวนำ ให้กลายเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Wave) แผ่ออกไปในอวกาศ และในทางกลับกันก็ทำหน้าที่ดักจับคลื่นในอากาศเปลี่ยนกลับมาเป็นสัญญาณไฟฟ้า ขั้นตอนการทำงานของมันก็จะกลับข้างกัน
การทำงานของสายอากาศขึ้นอยู่กับปัจจัยที่ละเอียดอ่อนมาก ไม่ว่าจะเป็นความยาว ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง รูปร่างเรขาคณิต (วางตัวเป็นรูปร่างอย่างไร) ระยะห่างระหว่างตัวนำ รวมถึงสภาพแวดล้อมรอบข้าง เช่น พื้นดิน หรือโครงสร้างโลหะใกล้เคียง
ในอดีต การสร้างสายอากาศสักต้นต้องอาศัยการลองผิดลองถูก (Trial and Error) ตัด ดัด หัก งอ ปรับระยะ แล้วนำไปวัดจริง ซึ่งเสียทั้งเวลาและงบประมาณอย่างมหาศาล "โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ" (Antenna Simulation Software) จึงเกิดขึ้นมาเพื่อทำหน้าที่เป็นห้องทดลองเสมือนจริง (Virtual Lab) ช่วยให้เราสามารถออกแบบ ปรับแต่ง และพยากรณ์พฤติกรรมของสายอากาศบนคอมพิวเตอร์ได้อย่างแม่นยำก่อนลงมือตัดลวดจริง
สิ่งที่เราจะได้จากโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศ
เมื่อเราป้อนพิกัดเรขาคณิตของสายอากาศ ขนาดของเส้นลวด ความถี่ใช้งาน และคุณสมบัติของจุดป้อนสัญญาณ (Feed point) เข้าไปในโปรแกรม ผลลัพธ์สำคัญที่โปรแกรมวิเคราะห์และคำนวณออกมาให้เรา ได้แก่:
- อิมพีแดนซ์ที่จุดป้อน (Feedpoint Impedance, Zin = R + jX): บอกว่าสายอากาศ ณ ความถี่นั้นมีความต้านทานไฟฟ้ากี่โอห์ม และมีค่ารีแอคแตนซ์เป็นบวก (Inductive) หรือลบ (Capacitive)
- อัตราส่วนคลื่นนิ่ง (SWR - Standing Wave Ratio): บอกระดับความแมตช์ระหว่างสายอากาศกับสายนำสัญญาณ (50Ω) และจะมีคลื่นนิ่งขนาดเท่าไรบนสายนำสัญญาณ
- รูปแบบการแผ่กระจายคลื่น (Radiation Pattern): แสดงรูปร่างการกระจายพลังงานทั้งในแนวตั้ง (Elevation) และแนวนอน (Azimuth)
- กำลังขยายและทิศทาง (Gain and Directivity): ค่าความเปรียบเทียบการส่งพลังงานในทิศทางหลัก (หน่วย dBi หรือ dBd)
- อัตราส่วนหน้าต่อหลัง (Front-to-Back Ratio / F/B Ratio): สำหรับสายอากาศแบบทิศทาง เช่น Yagi-Uda
- การกระจายตัวของกระแสไฟฟ้า (Current Distribution): แสดงระดับความเข้มของกระแสไฟฟ้าความถี่สูงที่ไหลอยู่บนส่วนต่างๆ ของลวดสายอากาศ
ซึ่งทั้งหมดด้านบนคำนวณได้ไม่ยากเลยถ้าเรารู้ว่ากระแสที่อยู่บนโลหะที่ใช้ทำสายอากาศแต่ละจุดมีค่าเท่าไร
ความยากในการคำนวณเพื่อหาคำตอบด้วยเทคนิคปกติ
เพื่อจะได้มาซึ่งค่า SWR, Radiation Pattern และอื่นๆ ในข้อที่แล้ว หัวใจหลักคือ เราต้องรู้ว่ามีกระแสไฟฟ้า (I) ไหลอยู่ ณ ทุกๆ จุดบนเส้นลวดสายอากาศเท่าไร แต่การหากระแสไฟฟ้านี้ไม่ง่าย หากเราใช้เทคนิคการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม (Analytical Method) แล้วล่ะก็ พอพบกับบรรดาอุปสรรค เช่น
- พฤติกรรมที่ซับซ้อนของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า: กระแสไฟฟ้าบนสายอากาศเกิดจากการปฏิสัมพันธ์ตามสมการของแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s Equations) ซึ่งติดอยู่ในรูป สมการอินทิกรัลเชิงอนุพันธ์ (Integro-differential Equations) ที่ซับซ้อนมาก
- ปรากฏการณ์แรงสะท้อนกลับ (Coupling Effect): กระแสในท่อนลวดจุด A จะแผ่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าไปเหนี่ยวนำให้เกิดกระแสที่จุด B และในขณะเดียวกัน กระแสที่จุด B ก็แผ่สนามกลับมารบกวนจุด A ด้วย ทุกๆ จุดบนตัวนำส่งอิทธิพลยันกันไปยันมารบกวนกันตลอดเวลา
- ข้อจำกัดของสูตรสำเร็จ: สมการคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สามารถแก้หาคำตอบตรงๆ (Exact Solution) ได้เฉพาะรูปทรงที่เรียบง่ายมากๆ ในอุดมคติเท่านั้น เช่น สายอากาศ Dipole แบบลวดเส้นเล็กมากๆ ในอวกาศว่างเปล่า แต่ถ้าสายอากาศเริ่มมีโครงสร้างซับซ้อน มีหลาย Element มีขนาดเส้นลวดจริง หรือมีพื้นดินเข้ามาเกี่ยว การแก้สมการด้วยมือแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย
ดูผนวก 1. เพิ่มเติม
โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศแต่ละชนิดใช้เทคนิคอะไรบ้างในการทำงาน
เพื่อก้าวข้ามข้อจำกัดของการแก้สมการด้วยมือ นักวิทยาศาสตร์จึงคิดนอกกรอบ พัฒนา วิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods) แล้วให้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณ โดยโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศในปัจจุบันแบ่งตามเทคนิคหลักๆ ได้ดังนี้:
- FDTD (Finite-Difference Time-Domain): แบ่งพื้นที่และเวลาออกเป็นบล็อกลูกบาศก์เล็กๆ (Grid/Voxel) เหมาะกับการคำนวณโครงสร้างซับซ้อน 3 มิติ เช่น โทรศัพท์มือถือที่อยู่ติดกับหัวมนุษย์ แต่ใช้ทรัพยากรคอมพิวเตอร์สูงมาก
- FEM (Finite Element Method): แบ่งโครงสร้างออกเป็นตาข่ายสามเหลี่ยมหรือพีระมิด เหมาะกับงานวิเคราะห์วัสดุที่มีรูปร่างโค้งมนหรือตัวนำหลายชนิดผสมกัน (เช่น โปรแกรม HFSS)
- MoM (Method of Moments): เทคนิคระดับตำนานที่เหมาะกับสายอากาศโครงสร้างเส้นลวด (Wire Antennas) มากที่สุด
โปรแกรมยอดนิยมในวงการวิทยุสมัครเล่นและวิศวกรสายอากาศ เช่น EZNEC, MMANA-GAL, 4NEC2, หรือ FEKO ล้วนเลือกใช้เทคนิค Method of Moments (MoM) เป็นหัวใจหลัก (ผ่านเครื่องมือช่วยคำนวณตระกูล NEC - Numerical Electromagnetics Code) เพราะให้ความแม่นยำสูงมากสำหรับตัวนำทรงลวด และใช้พลังการคำนวณที่คุ้มค่ารวดเร็วที่สุด
ดูผนวก 2. เพิ่มเติม
ขั้นตอนการคำนวณด้วยเทคนิค MoM ในโปรแกรม
เมื่อเรากำหนดลักษณะหน้าตา รูปร่าง เส้นลวด แหล่งจ่าย และอื่นๆ ซึ่งรวมถึงสิ่งสำคัญมากคือเราจะให้โปรแกรมตัดแบ่งลวดตัวนำเป็นกี่ท่อน (มากท่อนหรือ segment หมายความว่าแต่ละท่อนจะสั้นลง ผลที่ได้จะแม่นยำขึ้น แต่ใช้กำลังมากขึ้นในการคำนวณ) ให้กับสายอากาศหนึ่งๆ จนครบถ้วน แล้วให้โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศอย่าง EZNEC ซึ่งเป็นซอฟต์แวร์ที่ใช้เทคนิค MoM โปรแกรมจะดำเนินกระบวนการตามขั้นตอนดังนี้:
1. การซอยย่อยตัวนำ (Segmentation):
โปรแกรมจะไม่มองสายอากาศเป็นเส้นลวดยาวต่อเนื่อง แต่มันจะ "หั่น" ตัวนำออกเป็นท่อนเล็กๆ เรียกว่า Segment (โดยทั่วไปจะยาวประมาณ 0.01λ ถึง 0.05λ ตามที่เราสั่งไว้ก่อน) ดูรูปที่ 1
2. สมมุติรูปแบบกระแสย่อย (Basis Functions):
โปรแกรมจะสมมุติว่าใน Segment เล็กๆ แต่ละท่อน มีกระแสไฟฟ้ากระจายตัวด้วยรูปแบบง่ายๆ ที่เราพอจะคำนวณได้ (เช่น สมมุติให้กระแสใน Segment นั้นเป็นค่าคงที่ หรือเป็นรูปสามเหลี่ยม/ซายน์) ดูรูปที่ 2
รูปที่ 2 โปรแกรมอาจจะเริ่มสมมติกระแส
ในท่อน/ชิ้นโลหะสั้นๆ (segment) เป็นค่า
คงที่เท่าๆ กัน หรือเป็นรูป sine ก่อนก็ได้
3. สร้างระบบสมการอิทธิพลร่วม (Matrix Formulation):
โปรแกรมจะคำนวณอิทธิพลทางแม่เหล็กไฟฟ้าระหว่างทุกๆ Segment:
- กระแสใน Segment ที่ 1 ส่งสนามไปสร้างแรงดันตกคร่อม Segment ที่ 2 เท่าไร
- Segment ที่ 2 ส่งกลับมาหา Segment ที่ 1 เท่าไร
- ความสัมพันธ์ที่ยันกันไปยันมาทั้งหมด จะถูกเขียนประกอบขึ้นเป็น ระบบสมการเมทริกซ์อิมพีแดนซ์ [V] = [Z][I]
- [V] คือ แรงดันไฟฟ้าที่เราป้อน ณ จุด Feedpoint (Segment อื่นๆ ที่ไม่มีการป้อนไฟจะมีค่าเป็น 0)
- [Z] คือ เมทริกซ์อิมพีแดนซ์ที่คำนวณจากระยะห่าง ขนาด และมิติทางเรขาคณิตของทุก Segment
- [I] คือ กระแสไฟฟ้าในแต่ละ Segment ที่เรา "ต้องการหา"
4. แก้ระบบสมการด้วย MoM (Solving):
โปรแกรมจะใช้พีชคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra) คำนวณแก้เมทริกซ์ [I] = [Z]⁻¹[V] เพื่อหาค่ากระแสไฟฟ้าความถี่สูงที่แท้จริงในลวดทุกๆ Segment ออกมา
5. ประมวลผลลัพธ์ออกสู่หน้าจอ:
เมื่อรู้กระแสในทุก Segment แล้ว โปรแกรมจะนำกระแสเหล่านั้นไปคำนวณหาสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากแต่ละส่วนแล้วนำไปรวมกันในระยะไกลเพื่อวาดเป็น Radiation Pattern และนำกระแส ณ Segment ที่เป็นจุดป้อนไปคำนวณเป็นค่า Impedance และ SWR ต่อไป
ตัวอย่างการคำนวณอย่างง่ายโดยใช้ MoM
หัวข้อนี้นับว่าเป็นเรื่องสำคัญ หลายคนได้แต่เคยได้ยินคำว่า Method of Moments (MoM) แต่ก็ไม่รู้ว่าคืออะไรแน่ พอเปิดหนังสือคณิตศาสตร์ชั้นสูงก็ดูจะเกินเลยที่จะทำความเข้าใจได้ง่าย หรือหลายคนได้ยินคำว่า Method of Moments (MoM) แล้วอาจจะนึกไปถึงเรื่อง โมเมนต์ของแรง ในกลศาสตร์ (แรง⨯ระยะทาง) แต่ในทางคณิตศาสตร์และวิเคราะห์คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า Moment มีความหมายเฉพาะคือ การคูณกันของสองฟังก์ชั่น (แทนที่จะเป็นแรงกับระยะทาง) คือฟังก์ชันสมการของระบบกับฟังก์ชั่นทดสอบ (Testing/Weighting Function) แล้วอินทิเกรต เพื่อนำมาเฉลี่ยและเกลี่ยค่าความผิดพลาดให้กลายเป็นสมการตัวเลขที่คอมพิวเตอร์แก้ได้
และเป็นเพราะเรากำลังทำงานกับ ระบบสมการ คือมีหลายสมการ ดังนั้นจะเห็นว่าคำว่า moment ใน Method of Moments เติม s เป็นพหูพจน์ด้วย
เพื่อให้เห็นภาพกลอุบายทางคณิตศาสตร์ของ MoM โดยแยกความซับซ้อนของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกไปก่อน ลองดูตัวอย่างการหา ฟังก์ชันที่ไม่รู้ f(y) จากสมการอินทิกรัลสมมุติแบบง่ายตามตัวอย่างนี้:
0∫1 (x+y) • f(y) dy = 1
สำหรับทุกๆ x ในช่วง [0, 1]
สิ่งที่เราต้องการหาคือ: f(y) ว่าคือฟังก์ชันอะไร
ความยาก: ฟังก์ชัน f(y) ถูกซ่อนอยู่ข้างในอินทิเกรต (คล้ายกับกระแสสายอากาศที่ติดอยู่ในสมการของ Maxwell) แก้ด้วยมือตรงๆ ยากลำบากมาก
ขั้นตอนการแก้ด้วย Method of Moments (MoM)
ขั้นที่ 1: แบ่งเป็นชิ้นย่อยและเดาฟังก์ชัน (Basis Functions)
ในเมื่อเราไม่รู้ว่า f(y) มีรูปร่างหน้าตาโค้งมนอย่างไร หลักการของ MoM บอกว่า ให้แบ่งช่วง y จาก 0 ถึง 1 ออกเป็นหลายท่อน (segment) ในตัวอย่างนี้แบ่งเป็น 2 ท่อน (2 Segments) แล้วเดาว่าเป็นค่าคงที่ c_1 กับ c_2 ซะเลย ดังนั้น
f(y) ≈ (มีค่าประมาณ)
ท่อน1: c_1 {เมื่อ } y อยู่ในช่วง [0, 0.5)
ท่อน2: c_2 {เมื่อ } y อยู่ในช่วง [0.5, 1]
นั่นคือ สิ่งที่เราต้องหาเหลือแค่ตัวเลข 2 ตัว คือ c_1 และ c_2 เท่านั้น ไม่ใช่หาสมการของฟังก์ชั่น f(y) เต็มรูป
ขั้นที่ 2: ทำ "Moments" เพื่อถัวเฉลี่ยความผิดพลาด (Testing & Integration)
สมการเดิมคือ
0∫1 (x+y) • f(y) dy = 1
เราจะทำการแทน f(y) ด้วย c_1 และ c_2 ไปเลย แล้วอินทิเกรตแยกตามช่วง:
0∫0.5 (x+y) • c_1 dy + 0.5∫1 (x+y) • c_2 dy = 1
เมื่อทำการอินทิเกรตออกมา (บวกลบคูณหารปกติ):
ชิ้นแรก:
c_1 • [xy+y²/2]00.5 = c_1 • (0.5x+0.125)
ชิ้นสอง:
c_2 • [xy+y²/2]0.51 = c_2 • (0.5x+0.375)
รวมกันจะได้สมการติด x ค้างอยู่:
(0.5x + 0.125) • c_1 + (0.5x + 0.375) • c_2 = 1
เนื่องจากสมการนี้ต้องเป็นจริง เราจึงสุ่มเลือกจุดทดสอบ x มา 2 จุด (เรียกว่า Point Matching / Collocation) เพื่อสร้าง 2 สมการ:
ทดสอบที่ x = 0.25:
(0.5(0.25) + 0.125) • c_1 + (0.5(0.25) + 0.375) • c_2 = 1
0.25 • c_1 + 0.50 • c_2 = 1
ทดสอบที่ x = 0.75:
(0.5(0.75) + 0.125) • c_1 + (0.5(0.75) + 0.375) • c_2 = 1
0.50 • c_1 + 0.75 • c_2 = 1
ขั้นที่ 3: จัดในรูปเมทริกซ์แล้วแก้สมการ (Matrix Solving)
เราจะสังเกตเห็นว่าสมการอินทิกรัลตั้งต้นถูกแปลงสภาพออกมาเป็น ระบบสมการเชิงเส้น [A][C] = [B] เรียบร้อยแล้ว:
ได้เมตริกซ์
แก้ระบบสมการ 2 ตัวแปรนี้ด้วยพีชคณิตพื้นฐาน (หรือการแก้ Matrix Inverse):
นำสมการที่ 1 ไปคูณ 2 จะได้:
0.50 c_1 + 1.00 c_2 = 2
ลบด้วยสมการที่ 2:
(0.50 c_1 + 1.00 c_2) - (0.50 c_1 + 0.75 c_2) = 2 - 1
จะได้ 0.25 c_2 = 1 → c_2 = 4
แทน c_2 = 4 กลับลงในสมการแรก:
0.25 c_1 + 0.50(4) =1
→ 0.25 c_1 = -1 → c_1 = -4
สรุปผลลัพธ์คณิตศาสตร์
คำตอบที่เราหาได้คือ:
c_1 = -4
c_2 = 4
หมายความว่า ฟังก์ชัน f(y) ที่เราพยายามหาคำตอบ คือฟังก์ชันที่มีค่าประมาณ -4 ในท่อนแรก (0 ≤ y ≤ 0.5) และมีค่า +4 ในท่อนที่สอง (0.5 ≤ y ≤ 1)
เปรียบเทียบตารางความเชื่อมโยงสู่สายอากาศ
ในการคำนวณจริงๆ ในโปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศก็ทำในลักษณะเดียวกันนี้ เพียงแต่จำนวนท่อนที่เราแบ่งออกอาจจะมากกว่ากันเยอะ ทำให้การคำนวณละเอียดขึ้น
สรุป
โปรแกรมวิเคราะห์สายอากาศไม่ได้ใช้วิธีลึกลับหรือนั่งเดาคำตอบ (แบบสุ่ม) แต่มันคือการประยุกต์ใช้ Method of Moments (MoM) ซึ่งเป็นกลอุบายทางคณิตศาสตร์อันชาญฉลาด ในการแปลง สมการอินทิกรัลทางแม่เหล็กไฟฟ้าอันซับซ้อนจนแก้ด้วยมือไม่ได้ ให้กลายเป็น ระบบสมการเมทริกซ์เชิงเส้นที่คอมพิวเตอร์บวกลบคูณหารได้อย่างรวดเร็ว
ด้วยวิธีแบ่งเส้นลวดโลหะสายอากาศเป็นส่วนเล็กๆ (Segments) แล้วคำนวณแรงดันและกระแสที่ส่งอิทธิพลต่อกันไปยันมาระหว่างทุกๆ ท่อน จนได้สภาวะสมดุลที่เป็นจริงทางฟิสิกส์ ทำให้เราสามารถล่วงรู้ค่า SWR, อิมพีแดนซ์ และรูปทรงการแผ่กระจายคลื่นของสายอากาศได้อย่างแม่นยำ
การเข้าใจหลักการทำงานของ MoM ไม่เพียงช่วยให้เราใช้งานโปรแกรมจำลองสายอากาศได้อย่างมีประสิทธิภาพและตั้งค่าได้อย่างถูกต้องเท่านั้น แต่ยังทำให้เรามองเห็น "ปัญญาทางคณิตศาสตร์และวิศวกรรม" ที่ซ่อนอยู่เบื้องหลังหน้าจอคอมพิวเตอร์ทุกครั้งที่เรากดปุ่มวิเคราะห์สายอากาศครับ
ภาคผนวก 1
สมการอินทิกรัลที่โปรแกรมใช้แก้ปัญหาที่ว่ายากนั้นเรียกว่า EFIE (Electric Field Integral Equation) ซึ่งอธิบายว่า กระแสไฟฟ้าบนท่อนลวดท่อนหนึ่ง ส่งสนามแม่เหล็กไฟฟ้าไปรบกวนและเหนี่ยวนำท่อนลวดอื่นๆ อย่างไรและตั้งอยู่บนเงื่อนไขทางกายภาพ (Boundary Condition) ที่ว่าสนามไฟฟ้ารวมแนวสัมผัสบนผิวตัวนำต้องเป็นศูนย์เสมอ เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ดั้งเดิมที่เราต้องแก้ (และ แก้ด้วยมือไม่ไหว)
การทำงาน:
- ดูรูปที่ 3 ประกอบ
- เมื่อเราป้อนพลังงานเข้าไปที่จุดป้อน (Feedpoint) ลวดสายอากาศจะเริ่มมีกระแสไหลและแผ่สนามไฟฟ้าออกมา
- Source Segment (j): เมื่อมีกระแสไฟฟ้า I_j ไหลผ่านท่อนที่ j มันจะทำตัวเป็นสายอากาศจิ๋ว แผ่สนามไฟฟ้า Es_j ออกไปรอบทิศทางในอากาศ
- Observation Segment (i): สนามไฟฟ้าที่แผ่ออกมานี้ จะเดินทางผ่านระยะทาง r_ij ไปตกกระทบผิวของท่อนลวดที่ i
- Green's Function (ตัวเชื่อมระยะทาง): ความแรงของสนามที่เดินทางไปถึงท่อนที่ i จะถูกคำนวณผ่านฟังก์ชันที่เรียกว่า Green's Function ซึ่งบอกว่ายิ่งท่อนลวดอยู่ห่างกัน สนามจะยิ่งหน่วงเฟสและอ่อนกำลังลงตามระยะทาง r_ij
- สร้างสมการจากกฎฟิสิกส์ (Boundary Condition) ที่ว่าบนผิวตัวนำสมบูรณ์ (PEC) ผลรวมของสนามไฟฟ้ารวมบนผิวโลหะต้องเป็นศูนย์เสมอ E_total = 0
Einc_i คือ สนามไฟฟ้าป้อนเข้า (มาจากแหล่งจ่ายไฟ Feedpoint ถ้าท่อนนั้นไม่ใช่จุดป้อน ค่านี้จะเป็น 0)
Es_i คือ สนามไฟฟ้ากระเจิง (Scattered Field) ซึ่งเกิดจากการรวมผลของกระแสจาก ทุกๆ ท่อน (j=1 ถึง N) ที่ส่งกลับมารวมกัน ณ ท่อนที่ i:
- ระบบสมการเมทริกซ์ [V] = [Z][I] นำเงื่อนไขของทุกๆ Segment มาจัดเรียงเข้าด้วยกัน เราจะได้ระบบสมการที่ยันกันไปยันมา
Z_ii (Self-Impedance) คืออิทธิพลที่ท่อนตัวเองสร้างสนามขึ้นมาต้านกระแสตัวเอง
Z_ij (Mutual Impedance) คืออิทธิพลทางแม่เหล็กไฟฟ้าข้ามท่อน จากท่อน j ส่งมายังท่อน i
- เทคนิค MoM จึงรับหน้าที่แปลงสมการ EFIE ที่ซับซ้อนนี้ ให้กลายเป็นเมทริกซ์อิมพีแดนซ์ [Z] เพื่อให้คอมพิวเตอร์หาค่ากระแส [I] = [Z]-1 [V] ได้อย่างแม่นยำนั่นเอง
พูดง่ายๆ คือ โปรแกรมอย่าง EZNEC (ที่ใช้ MoM) ใช้เงื่อนไขของกระแสและสนามย้อนกลับมาคำนวณว่า "กระแสไฟฟ้า (I) บนลวดแต่ละ Segment ต้องมีค่าเท่าไหร่ ถึงจะสร้างสนาม (scattered) ออกมาได้หักล้างกับสนามป้อนเข้า (incident) ได้พอดิบพอดีทุกจุด" และเอาเทคนิค MoM มาช่วยแปลงสมการ EFIE ตัวนี้ ให้กลายเป็นเมทริกซ์ [V]=[Z][I] เพื่อหาค่ากระแส [I] นั่นเอง
ภาคผนวก 2
โปรแกรมจำลองสายอากาศลวดส่วนใหญ่ในโลก (รวมถึง EZNEC) ไม่ได้เขียนเครื่องจักร (engine) คำนวณขึ้นมาใหม่เองทั้งหมด แต่สร้างหน้าตาโปรแกรมครอบลงบนเครื่องจักรการคำนวณระดับตำนานอย่าง NEC (Numerical Electromagnetics Code) ซึ่งเป็นซอฟต์แวร์มาตรฐานที่ใช้ MoM ในการแก้สมการ EFIE มายาวนานหลายทศวรรษแล้ว
NEC ไม่ใช่ชื่อโปรแกรมที่มีหน้าตาไว้ให้เรากดวาดรูปสายอากาศ แต่เป็น ชุดรหัส/เครื่องจักรเพื่อการคำนวณ (Calculation Engine)" ที่ถูกเขียนขึ้นตั้งแต่ยุค 1970s–1980s โดยห้องปฏิบัติการ Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL) ร่วมกับกองทัพสหรัฐฯ
วิวัฒนาการ:
NEC-2: เป็นเวอร์ชันสาธารณะ (Public Domain) ที่ฮิตที่สุด ใช้โค้ดภาษา FORTRAN ซึ่งคำนวณสายอากาศลวดในอวกาศและบนพื้นดินอุดมคติได้แม่นยำมาก
NEC-4 / NEC-5: เวอร์ชันพัฒนาต่อยอดที่แม่นยำขึ้นสำหรับลวดที่ฝังใต้ดินหรือตัวนำที่มีขนาดต่างกันมาก (แต่มีลิขสิทธิ์)
เชื่อมโยงกับ EZNEC: โปรแกรมอย่าง EZNEC, 4NEC2, หรือ MMANA ที่เราใช้กันหน้าตาสวยงาม มี GUI ให้วาดลวดและดูภาพ 3D นั้น แท้จริงแล้วเป็นเพียง "หน้าต่างติดต่อผู้ใช้ (Front-end)"
เวลาเรากด "Calculate" โปรแกรมหน้าบ้านจะส่งพิกัดลวดไปให้ NEC Engine ที่ซ่อนอยู่หลังบ้าน
เจ้า NEC Engine นี้แหละที่ใช้เทคนิค MoM แก้สมการ EFIE แล้วส่งผลลัพธ์กระแสและ Pattern กลับมาแสดงผลบนหน้าจอให้เราเห็นและนำไปใช้งานต่อไป ดูรูปที่ 4
