ทำไมอัตราสูญเสียกำลังในสายนำสัญญาณจึงบอกเป็น dB/ความยาว

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต (HS0DJU / Jason) 

เพื่อนนักวิทยุสมัครเล่นคงเคยรู้เรื่องเกี่ยวกับการสูญเสียในสายสัญญาณมาบ้างแล้ว  สายนำสัญญาณจะไม่สามารถส่งกำลังทั้งหมดที่เข้าที่ปลายสายด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งได้โดยเฉพาะเมื่อมันมีความยาว  หลายคนคงเคยเปิดสเป็คหรือข้อมูลจำเพาะของสายนำสัญญาณโดยเฉพาะส่วนของตัวเลขที่บอกอัตราการสูญเสียกำลังในสายนำสัญญาณที่แต่ละชนิดซึ่งโดยทั่วไปจะไม่เท่ากันที่ความถี่ต่างๆ 

ตัวเลขเหล่านี้จะเห็นว่ามีหน่วยเป็น dB ต่อระยะทางเสมอ เช่น dB/100m หรือ dB/100ft  (ไม่ยักบอกเป็น % หรือ เท่าตัวต่อความยาวซึ่งดูน่าจะเข้าใจง่ายกว่า) แต่เราก็เอาตัวเลขที่เป็น dB/100m หรือ dB/100ft นี้ไปคำนวณต่อได้ง่ายๆ ตามตัวอย่างต่อไปนี้

ความสัมพันธ์แบบเชิงเส้น (Linear)

ความสัมพันธ์ของอะไรหลายๆ อย่างในวิศวกรรมเป็นแบบเชิงเส้น (ถึงในความเป็นจริง มักไม่มีอะไรเป็นเชิงเส้นอย่างแท้จริง อาจจะเพราะถูกรบกวน หรือธรรมชาติของอุปกรณ์เอง หรือเชิงเส้นภายใต้เงื่อนไขต่างๆ เข่น ช่วงความถี่ โวลเตจ กระแส เป็นต้น แต่ถ้าเรามองในช่วงเล็กๆ ก็อาจจะพอถือว่าเป็นเชิงเส้นได้) เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างกระแส (I) และศักดา (V) ที่ตกคร่อมความต้านทาน (R) ค่าหนึ่ง ดูรูปที่ 1 

รูปที่ 1 ความสัมพันธ์ V = R ⨯ I เป็นแบบเชิงเส้น
สังเกตลูกศรสีน้ำตาลเมื่อ I < 0 มีความหมายว่า
กระแสไหลกลับทิศทางและโวลเตจตกคร่อม
ความต้านทาานก็กลับด้านเท่านั้นเอง

รูปที่ 1 ไม่มีอะไรมากไปกว่า "กฏของโอห์ม" (Ohm's Law) ที่มาจากสูตร V = I ⨯ R หรือ I = (1/R) ⨯ V ซึ่งคือของอย่างเดียวกันนั่นแหละ ความชันของเส้นในภาพคือ (1/R) ยิ่งความต้านทาน R มีค่ามากขึ้น เส้นก็จะชันน้อยลง  ง่ายๆ และมีความสุขดี

แต่ความสัมพันธ์ของอะไรๆ อีกหลายๆ อย่างในวิศวกรรมและในโลกนี้ไม่เป็นเชิงเส้น (ดูเหมือนจะเยอะกว่าด้วยซ้ำไป) และ.. 

กำลังของคลื่นที่ไหลผ่านสายนำสัญญาณมาได้ไม่เป็นเชิงเส้น

เมื่อคลื่นเดินทานผ่านสายนำสัญญาณจะมีการสูญเสียกำลังเกิดขึ้น ทั้งจากตัวนำไฟฟ้าเอง (มีความต้านทาน) และจากผลของฉนวนที่ไม่ได้เป็นฉนวนในอุมดมคติ ถ้าเราป้อนสัญญาณกำลัง (power) คงที่เข้าด้านหนึ่งของสายนำสัญญาณแล้วตั้งสมมติฐานว่า ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของสัญญาณที่ออกอีกด้านหนึ่งกับความยาวของสายนำสัญญาณ เป็นเชิงเส้น เราน่าจะได้ภาพความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของสายนำสัญญาณนั้นกับกำลังที่เหลือออกมาที่ปลายสายอีกด้านหนึ่งตามใน รูปที่ 2 

รูปที่ 2 ถ้าความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของคลื่น RF
ที่เหลือออกมาที่ปลายสายนำสัญญาณอีกด้านหนึ่ง
เป็นเชิงเส้นกับความยาวของสาย เราน่าจะได้ภาพ
ด้านบน ซึ่งเป็นไปไม่ได้และไม่ใช่สิ่งที่เกิดขึ้นจริง

ปัญหาของความสัมพันธ์ตาม รูปที่ 2 ก็คือ เมื่อสายนำสัญญาณยาวมากขึ้นๆ ขนาดของสัญญาณที่ปลายสายอีกด้านหนึ่งจะ ต่ำกว่าศูนย์หรือติดลบ ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ (ส่งสัญญาณกลับด้านหรือไง?!?) จึงเป็นไปไม่ได้  ดังนั้นสมมติฐานจึงไม่ถูกต้อง  นั่นคือ ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของสัญญาณที่ออกอีกด้านหนึ่งกับความยาวของสายนำสัญญาณ ไม่เป็นเชิงเส้น 

รูปที่ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของสัญญาณ
ที่ออกอีกด้านหนึ่งกับความยาวของสาย มีลักษณะ
ไม่เป็นเส้นตรง (ไม่เป็นเชิงเส้น ไม่ linear)  ที่จริง
ให้เข้าใจว่าเส้นในภาพต้องเป็นเส้นโค้งตลอด แต่
วาดยาก ผู้เขียนจึงวาดเป็นเส้นตรงสั้นๆ มาต่อกัน

รูปที่ 3 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของสัญญาณที่ออกอีกด้านหนึ่งกับความยาวของสายนำสัญญาณ จะ ไม่เป็นเชิงเส้น นั่นคือเป็นเส้นโค้ง (บนกราฟแบบแกน linear)  และเส้นจะใกล้เข้าใกล้แกนนอน (แกน ขนาดเป็นศูนย์) ไปเรื่อยๆ โดยไม่ตัดแกนนอนไม่ว่า ℓ จะยาวเท่าไรก็ตาม  ทีนี้ด้วยความเป็นเส้นโค้งๆ ตลอดของมันนี่แหละ ถ้าเราจะคำนวณว่ากำลังคลื่นเหลือที่ปลายสายเท่าไรให้แม่นยำ จะทำอย่างไร เริ่มมีปัญหาแล้ว

ทำไมต้องบอกการสูญเสียเป็น dB/ความยาว

ไม่รู้ว่าพวกเราเคยมีคำถามง่ายๆ บ้างไหมว่า: “ทำไมการบอกอัตราความสูญเสียกำลังในสายนำสัญญาณจึงบอกเป็น dB/ความยาว เช่น 6 dB/100m  ทำไมไม่บอกเป็น เท่า/ความยาว เช่น  3.105 เท่า/100 เมตร บ้าง มันดูน่าจะง่ายกว่าตั้งเยอะ 

คำตอบคือ เพราะเป็นวิธีที่ฉลาดที่สุด ง่ายต่อการนำไปใช้คำนวณที่สุด ที่จะได้ผลลัพธ์การสูญเสีย (หรือ สัญญาณส่วนที่เหลือส่งผ่านไปได้) ที่ความยาวของสายนำสัญญาณต่างๆ ถูกต้อง และนอกจากนั้นโดยธรรมชาติของ dB จะเป็นความสัมพันธ์แบบไม่เป็นเชิงเส้นด้วย

การสูญเสียเกิดขึ้นต่อระยะทางหนึ่งๆ คือเหลือกำลังเพียงส่วนหนึ่งจากเริ่มต้น  ถ้าเราต่อความยาวออกไปอีก จะเป็นการ “ทบ” ความยาวไปอึก และกำลังที่เหลือจะเป็นการคูณสัดส่วนของกำลังที่เหลือซ้ำเข้าไปแบบการยกกำลัง (ไม่ใช่คูณด้วยจำนวนเท่าของการทบ) ดูรูปที่ 4

รูปที่ 4 การคำนวณอัตราการสูญเสียแบบง่ายๆ
เมื่อสายนำสัญญาณยาวขึ้นๆ สัดส่วนสัญญาณ
ที่เหลือถึงปลายสายจะเกิดจากการคูณอัตราการ
สูญเสียต่อหนึ่งความยาวเข้าด้วยกัน

---

อ่านเรื่อง การสูญเสียกำลังในสายนำสัญญาณ (ตอนที่ 2) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวอย่างที่ 3 ในบทความดังกล่าวประกอบ เพื่อความเข้าใจมากขึ้นเรื่องหน่วย dB และ B และการใส่เครื่องหมายติดลบที่ -0.492 ในการคำนวณด้านล่าง

---

ลองหาวิธีคำนวณดู

ในรูปที่ 4 สายนำสัญญาณมีการสูญเสีย 4.92 dB / 100 เมตร หรือ 0.492 B / 100 เมตร (B คือหน่วย Bel) บอกให้เรารู้ว่า: 

log ( P_out / P_in ) = -0.492  นั่นคือ
P_out / P_in  = log^-1(-0.492) = 0.322  

ให้  ℓ เป็นความยาวสาย (หน่วย เมตร) และ α เป็นความยาวที่ทำให้เหลือสัญญาณเป็น 0.322 เท่าตัว (เช่น α = 100 m)  ในรูปจะแสดงการคำนวณหากำลังที่เหลือไปถึงอีกด้านของปลายสายที่ความยาว ℓ / α   เมื่อ  ℓ / α  มีค่าต่างๆ กัน 

ในรูปที่ 4 จะเห็นว่าสัดส่วนของกำลังขาออกต่อขาเข้าเป็น

P_out / P_in   = 0.322^( ℓ / α )  หรือ 
P_out / P_in   = 0.322^m  
เมื่อ m = ℓ / α  

เรารู้ว่า
log^-1(-0.492) = 0.322  

ดังนั้น 
P_out / P_in   =  [ log^-1( -0.492 )]^m   

take logarithmic ทั้งสองข้างของสมการได้ 
log ( P_out / P_in )  =  log [ log^-1( -0.492 )]^m   

จากคุณสมบัติด้านการยกกำลังของตัวแปรของฟังก์ชั่น Logarithm (ดูรูปที่ 5) จะได้
log ( P_out / P_in )  =  m • log [ log^-1( -0.492 )]   ซึ่งคือ
log ( P_out / P_in )  =  m • ( -0.492 ) 
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( -0.492 ) ]
ให้  - L = - 0.492
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( - L ) ]    -------① 
m = ℓ / α     ------------------------------------②       

สมการที่ ① และ ② นี่คือที่เราจะนำไปใช้คำนวณต่อไป

ตัวเลข -0.492 ก็คือ - L ในสมการ ①   L คือการสูญเสียในหน่วย B (Bel) ต่อความยาว  α  แล้วใส่เครื่องหมายติดลบให้มันซะ  และเทอม m • ( - L ) ในสมการ ①  นั่นเองที่แสดงว่าเราสามารถเอาค่า dB (กรณีนี้เป็น B หรือ Bel ซึ่งเป็นหน่วยใหญ่ของมันแค่นั้นเอง) มาคูณกับ m หรือ multiple ของการทบความยาว เพื่อคำนวณได้ง่ายๆ 

รูปที่ 5 Power Property หรือคุณสมบัติ
การยกกำลังของ Logarithmic function

การพิสูจน์ด้านบนนับว่าค่อนข้างสับสนเอาเรื่อง (ถึงว่า หาอ่านได้ยาก ไม่ค่อยมีใครอธิบายไว้)

ตัวอย่างที่ 1 

สายนำสัญญาณเส้นหนึ่ง มีอัตราการสูญเสียที่ความถี่ 150MHz เป็น 26 dB/100m  สมมติเราตัดมาใช้งาน 10 เมตร และใช้กับเครื่องส่งกำลัง 5 วัตต์  จะมีกำลังเคลื่อนส่งออกไปถึงปลายสายอีกข้างหนึ่งเท่าไร 

สายยาว 100 เมตร สูญเสีย 26 dB
สายนำสัญญาณของเรายาว 10 เมตร ดังนั้น
m = (10m / 100m) = 0.1

และจะสูญเสีย
m • 26 dB = 2.6 dB = 0.26 B (เพราะ 10 dB = 1 B)
ทำให้เป็นค่าติดลบเพราะเราคิด log ของ  P_out / P_in  ได้ -0.26 ในสมการ ③ 
ซึ่งคือของอย่างเดียวกันกับ  m • ( - L) ในสมการที่ ① 

10 log ( P_out / P_in ) = -2.6  (มี 10 คูณหน้า log ด้านขวามือเป็นหน่วย dB)
เราใส่เครื่องหมาย - เพราะ P_out < P_in  ทำให้  P_out / P_in  < 1 และ log (<1) จะเป็นค่าติดลบ
log ( P_out / P_in ) = -0.26  (ไม่มี 10 คูณหน้า log ด้านขวามือเป็นหน่วย B)
P_out / P_in  = log^-1(-0.26) = 10^-0.26    ----------③   

สมการ  ③ อยู่ในรูปเดียวกับสมการ ①  ด้านบน
จากสมการ ③ จะได้
P_out / P_in  = 0.549

ถ้าป้อน
P_in  = 5 W
จะได้
P_out = 5W • 0.549 = 2.745 W

ตัวอย่างที่ 2

สายนำสัญญาณเส้นหนึ่งมีการสูญเสีย 2.2 dB/100m ที่ความถี่ 30 MHz ถ้าเราใช้งานมันที่ความยาว 70 เมตร จะสูญเสียร้อยละเท่าไร 

ดูสมการ
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( - L ) ]    -------① 
m = ℓ / α     ------------------------------------②       

L ของสายนำสัญญาณของเราคือ 2.2 dB/10 = 0.22 B (หน่วย Bel) 
m = 70/100 = 0.7
m • ( - L ) = 0.7 • (- 0.22) = - 0.154
P_out / P_in   =  log^-1 ( - 0.154 ) = 10^-0.154  = 0.701
P_out  =  0.701 P_in   
กำลังหายไป  1 - 0.701 = 0.299 ส่วน (จาก 1)
นั่นคือสูญเสียไป 29.9% 

ตัวอย่างที่ 3   การสูญเสียในสายนำสัญญาณไม่เป็นเชิงเส้นกับความยาว

สายนำสัญญาณ 3D-FB มีอัตราสูญเสีย 13 dB/100 m ที่ความถี่ 150MHz 
กรณีที่ 1 สายนำสัญญาณนี้ยาว 100 เมตรจะมีการสูญเสียอย่างไร
m = ℓ / α   
m = 100 m / 100 m = 1
L = 13/10 B = 1.3 B
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( - L ) ]  =  log^-1 [ 1 • ( - 1.3 ) ]  
P_out / P_in   =  log^-1 -1.3 = 0.0501 
หรือ เหลือกำลังที่ปลายสาย 5.01% และหายไป 94.99%
กรณีที่ 2 ถ้าสายนำสัญญาณนี้ยาว 50 เมตรจะมีการสูญเสียอย่างไร
m = ℓ / α   
m = 50 m / 100 m = 0.5
L = 13/10 B = 1.3 B
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( - L ) ]  =  log^-1 [ 0.5 • ( - 1.3 ) ]  
P_out / P_in   =  log^-1 -0.65 = 0.2238 
หรือ เหลือกำลังที่ปลายสาย 22.38% และหายไป 77.62%

จะเห็นว่าการสูญเสียของสายนำสัญญาณที่ยาว 100 เมตร คือ 94.99% ไม่ได้เป็นสองเท่าของการสูญเสียของสายนำสัญญาณที่ยาว 50 เมตร และกำลังที่เหลือที่ปลายสายที่ยาว 50 เมตรก็ไม่ได้เป็นสองเท่าของสายที่ยาว 100 เมตร    แต่ถ้าเราลองคิดว่าเราเอาสายนำสัญญาณเส้นละ 50 เมตรมาต่อกัน กำลังที่ปลายสายเส้นแรกจะเหลือ 0.2238 ส่วนต่อไปเส้นที่สองที่ลดลงไปอีก 0.2238 ส่วน รวมแล้วต้องคูณกันเป็น 0.2238 ⨯ 0.2238 = 0.0501  ซึ่งคือความไม่เป็นเชิงเส้นนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 4  หาอัตราการสูญเสียของสายนำสัญญาณตัวอย่าง

สายนำสัญญาณเส้นหนึ่งยาว 12 เมตร เมื่อป้อนสัญญาณความถี่ 145 MHz กำลัง 5 วัตต์เข้าที่ด้านหนึ่ง วัดกำลังที่ปลายสายอีกด้านหนึ่งได้ 3 วัตต์ สายนำสัญญาณนี้มีอัตราการสูญเสียกำลังกี่ dB/100m และถ้าตัดให้ยาว 8 เมตร จะมีการสูญเสียอย่างไร

อัตราการสูญเสีย = log ( P_out / P_in  ) = log (3/5)
= -0.2218 B/12m = -2.218 dB/12m  (มีเครื่องหมาย - เพราะเราคำนวณจาก P_out / P_in  ) 
ถ้าสายยาว 100 เมตร จะสูญเสีย (100m/12m) ⨯ (-2.218) = -18.48 dB/100m
หรือจะบอกว่าสายนำสัญญาณนี้สูญเสีย 18.48 dB/100m ก็ได้ มีความหมายเดียวกัน

ถ้าสายนำสัญญาณนี้ยาว 8 เมตร จะสูญเสียเท่าใด
m = ℓ / α  = 8m / 100m = 0.08
L อัตราการสูญเสียต่อความยาว 100m หน่วย B แล้วใส่เครื่องหมายลบ = - 1.848 
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( - L ) ]  =  log^-1 [ 0.08 • ( - 1.848 ) ]    
P_out / P_in   =  log^-1 (- 0.1478) = 0.711 
นั่นคือเหลือกำลังมาที่ปลายสาย 71.1% หรือสูญเสีย 28.9% 

หรือจะคำนวณหาการสูญเสียกำลังองสายนำสัญญาณนี้เมื่อยาว 8 เมตรจากข้อมูลเดิมของมันที่เราคำนวณไว้เองแต่แรกคือ -2.218 dB/12m ก็ได้
m = ℓ / α  = 8m / 12m = 0.66 
L อัตราการสูญเสียต่อความยาว 12m หน่วย B แล้วใส่เครื่องหมายลบ = - 0.2218 
P_out / P_in   =  log^-1 [ m • ( - L ) ]  =  log^-1 [ 0.66 • ( - 0.2218 ) ]    
P_out / P_in   =  log^-1 (- 0.1463) = 0.714 
นั่นคือเหลือกำลังมาที่ปลายสาย 71.4% หรือสูญเสีย 28.6% 
ซึ่งคือค่าเดียวกันกับที่คำนวณไว้แล้วด้านบน (ตัวเลขที่ต่างกันไปบ้างเพราะการปัดจุดทศนิยมในการกดเครื่องคิดเลขเท่านั้น) 

สรุป

1. ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของสัญญาณที่ออกอีกด้านหนึ่งกับความยาวของสายนำสัญญาณไม่เป็นเชิงเส้น
2. โดยทั่วไป P_out < P_in  เสมอ ดังนั้น  log ( P_out / P_in  ) จะติดลบ ในขณะที่ log ( P_in / P_out ) จะเป็นบวก ทั้งสองอย่างถูกต้องขึ้นกับว่าเราเลือกใช้อย่างไร แค่ต้องใช้ให้ถูกเท่านั้น
3. การบอกอัตราความสูญเสียเป็น dB หรือ B ต่อหน่วยความยาว ก็เพื่อให้สามารถคำนวณหาความสูญเสียรวมของสายนำสัญญาณ และกำลังที่เหลือส่งผ่านสายนำสัญญาณที่ความยาวใดๆ ได้ง่ายและถูกต้อง
4. เราอาจจะใช้ระบบ logarithmic ฐานใดตามใจเรา ที่ไม่ใช่ฐาน 10 ( log₁₀ ) มาคำนวณการสูญเสียก็ได้ เช่นเลือกใช้ฐาน e ก็จะกลายเป็น log_e  หรือ ln (อ่านว่า ลอน) และยังคงสามารถคำนวณทุกอย่างได้ถูกต้อง ดูรูปที่ 6 และ 7 เพียงแต่ถ้าเราใช้ฐาน 10 จะสะดวกในการรับรู้ว่าการเพิ่มของค่า log₁₀(P_out / P_in) ขึ้น 1 หน่วยมีความหมายว่าเพิ่ม P_out / P_in ขึ้น 10 เท่า และจะเรียกหน่วยของการเพิ่มนั้นว่า 1 B (Bel) ได้ หรือเมื่อคูณ 10 เข้ากับ  log₁₀(P_out / P_in) จะได้หน่วยเป็น dB หรือ decibel (ถ้าเลือกใช้ฐานอื่นที่ไม่ใช่ 10 จะเรียกหน่วยเป็น B หรือ dB แบบนี้ไม่ได้นะ) แล้วมันก็ "เป็นธรรมชาติ" ต่อเรามากกว่านั่นเอง  

รูปที่ 6 ที่จริงแล้ว เราสามารถกำหนดเองได้ว่าจะให้
การลดลงแบบไม่เป็นเชิงเส้นของกำลังที่ส่งผ่านสาย
นำสัญญาณเป็นแบบ logarithm ฐานอะไร  สายนำ
สัญญาณตัวอย่างในรูปนี้มีการสูญเสียกำลังเหลือ
ครึ่งหนึ่ง (0.5 เท่า นั่นคือ R=0.5 และ R<1) ต่อความยาว
100 เมตร (L = 100 เมตร)   ℓ เป็นความยาวของสายนำ
สัญญาณที่เราต้องการคำนวณหากำลังที่ส่งผ่านได้
โดย m = ℓ/L บอกว่าความยาวของสายนำ
สัญญาณนั้นยาวเป้นกี่เท่าของ L  (m ไม่จำเป็น

ต้องเป็นจำนวนเต็ม)   สมการ (a) เป็นสมการที่บอก
P_out  ที่ส่งผ่านสายนำสัญญาณว่าเป็นกี่เท่าของ P_in   

รูปที่ 7 เนื่องจากตัวแปร B (ฐานของ logarithm ที่เราจะ
เลือกใช้), L (ความยาวที่รู้ว่ากำลังจะลดลงเหลือเท่าไร),

R (สัดส่วนของกำลังที่ส่งผ่านได้เมื่อสายนำสัญญาณ
ยาว L) สามารถเป็นค่าใดๆ ก็ได้ (ยังไงก็ขอให้ B จำนวน
เต็มบวกหน่อยก็แล้วกัน จะได้ไม่แปลกเกินไป)
ก็ยังสามารถคำนวณ P_out เมื่อรู้ P_in ได้ถูกต้อง

ในรูปนี้ กรณีที่ 1: B=10 คือเราเลือกฐาน 10 ( log₁₀ )
และกรณีที่ 2: B=5 คือเราเลือกฐาน 5 ( log₅ )

หมายเหตุ 
ข้อ 4 ในสรุป เป็นเรื่องของคณิตศาสตร์และเกินเลยเรื่องของวิทยุระดับสมัครเล่นไปหน่อย ถ้าเพื่อนๆ งงก็ไม่เป็นไรครับ เอาเป็นว่าปกติมาตรฐานทั่วไปในการคำนวณเรื่องการสูญเสียต่างๆ เราใช้ logarithm ฐาน 10 เท่านั้น (ไม่อย่างนั้นจะเรียกเป็น dB ไม่ได้)

73 DE HS0DJU (จิตรยุทธ จ. / Jason)