zy-chart คืออะไร

หลังจากที่เราได้รู้จัก ที่มาของสมิทชาร์ท และรู้ การใช้งานสมิทชาร์ท ไปแล้วในบทความที่ผ่านมา คราวนี้ผมจะแนะนำขั้นก้าวหน้าไปกว่านั้นสักเล็กน้อยคือ การพัฒนาสมิทชาร์ทที่โดยพื้นฐานแล้วเป็นระนาบของสัมประสิทธิการสะท้อน Γ ที่มี z plane (ประกอบไปด้วยวงลม r และเส้นโค้ง ±x ซ้อนอยู่ ซึ่งเป็นรูปแบบปกติที่เราเห็นๆ กันตามรูปที่ 1) ให้มี y plane เพิ่มเข้ามาด้วย ซึ่งเราเรียกว่าเป็นสมิทชาร์ทแบบ zy chart (สังเกตให้ดีว่าผมใช้ zy ตัวอักษรเล็ก เพราะสิ่งต่างๆ บนชาร์ทเป็นค่า "เทียบฐาน" หรือ normalized เราจึงควรเขียนให้ถูกต้องด้วย) เพื่อนๆ อาจจะสงสัยว่าแล้วทำไมเราต้องรู้เรื่อง zy chart อะไรนี้ด้วยล่ะ คำตอบก็คือ เพราะมันจำเป็นในการนำไปใช้เแมทช์อิมพิแดนซ์ของสายอากาศต่อไปนั่นเอง

รูปที่ 1 สมิทชาร์ทมาตรฐาน มีเส้นวงกลม r และส่วนของวงกลม ±x (รวมเรียกว่า z-plane) ซ้อนอยู่บน Γ-plane 

ให้สังเกตว่าครึ่งบนเป็นเส้นโค้ง +x หรือมีความเป็น inductive และครึ่งล่างเป็น -x หรือมีความเป็น capacitive

ทีนี้ก่อนจะมาทำความรู้จักกับเพื่อนใหม่คือ "แอดมิตแตนซ์" หรือ Y เรามาทบทวนอิมพิแดนซ์ (Z) ที่เราคุ้นเคยกันก่อนอีกครั้งก็น่าจะเป็นการดีไม่น้อย

อิมพิแดนซ์ เป็นความต้านทานไฟฟ้าในกระแสสลับ จึงทำให้ค่าความจุและ/หรือความเหนี่ยวนำไฟฟ้ามีผลด้วย เราเขียนแทนอิมพิแดนซ์ด้วย Z มีหน่วยเป็นโอห์ม (Ω)
Z = R ± jX  Ω  (โอห์ม)
และส่วนประกอบของอิมพิแดนซ์คือ
R เป็นความต้านทานไฟฟ้า (resistance)
X เรียกว่า reactance (รีแอคแตนซ์) เป็นการหน่วงทางไฟฟ้าเป็นผลมาจากความจุและ/หรือความเหนี่ยวนำทางไฟฟ้า (พอพุดถึงความหน่วงหรือสิ่งที่เกิดขึ้นจากความจุและ/หรือความเหนี่ยวนำทางไฟฟ้าเหล่านี้ ให้นึกถึง "สปริง" เข้าไว้ คือเรากดมัน มันเก็บพลังงานไว้ พอเราปล่อย มันก็เด้งออกมา เหมือนการเก็บและคายพลังงานของตัวเก็บประจุและ/หรือตัวเหนี่ยวนำนั่นเอง)

ฝาแฝดของ อิมพิแดนซ์ คือ แอดมิตแตนซ์ (admittance) มีหน่วยเป็น mho หรือ siemens เขียนแทนด้วย Y มีส่วนประกอบ 2 ส่วน
Y = G ± jB  Ʊ  (โมห์, mho, s - siemens, ซีเมนส์ เรียกได้หลายแบบเชียว)
โดย Y เรียกว่า admittance (แอดมิตแตนซ์) มีส่วนประกอบสองส่วน
G เป็นส่วน conductance (คอนดัคแตนซ์) เกิดจากการนำไฟฟ้า (เห็นไหม! ไม่ใช่ความต้านทานไฟฟ้าแล้วนะ)
B เป็นส่วน susceptance (ซัสเซ็บแตนส์) เกิดจากการนำไฟฟ้าจากการเก็บประจุหรือเหนี่ยวนำทางไฟฟ้า

โดย
Y = 1/Z
และ
Z = 1/Y นั่นเอง

นั่นคือเราสามารถเขียนแทนสิ่งที่ไฟฟ้าไหลผ่านโดยจะบอกว่ามันเป็น อิมพิแดนซ์ Z หรือเป็นแอดมิตแตนซ์ Y ก็ได้ และเหมือนหมายถึงของอย่างเดียวกันนั่นเอง

การคำนวณหาแอดมิตแตนซ์

รูปที่ 2 ลักษณะค่าของ Z, Y สังเกตว่าถ้า R และ/หรือ X มีค่ามาก G จะลดลง

และเมื่อ X มีค่าเป็นบวก B จะมีค่าเป็นลบ (เมื่อ X เป็นลบ B จะเป็นค่าบวก)

และในเมื่อเราหาค่า normalized impedance ได้ด้วย
z = Z/Zo = r + jx
เราก็ทำแบบเดียวกันกับฝาแฝดของมันคือหาค่า normalized admittance ได้ด้วยการเอา "ค่าฐาน" (Yo) ไปหาร
y = Y/Yo = g + jb
โดยที่
อิมพิแดนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Zo = 50 Ω 
แอดมิตแตนซ์จำเพาะของสายนำสัญญาณ Yo = 1/Zo = 0.02 Ʊ 

ให้สังเกตว่า
z, r, x, y, g, b เป็นตัวอักษรเล็กทั้งหมด เพราะเป็นค่าเทียบฐานหรือ normalized กับ Zo หรือ Yo มา  หากถามว่าทำไมจึงต้องเน้นเรื่องนี้ ก็เพราะสิ่งที่เราอ่านจากเส้นโค้งๆ บนสมิทชาร์ททั้งหมด ก็คือบรรดาสิ่งที่เป็นค่า normalized เหล่านี้ ไม่ใช่ค่าจริง เลยต้องเน้นหน่อย

ตัวอย่าง (ดูรูปที่ 3 ประกอบ)
Z = 25 + j 50 Ω  
Y = 1/Z = 1/(25 + j 50Ω) = 0.008 - j 0.016 Ʊ 
z = Z/Zo = (25 + j 50 Ω) / 50Ω = 0.5 + j1  (ไมมีหน่วย)
y = Y/Yo = (0.008 - j 0.016 Ʊ) / 0.02Ʊ  = 0.4 - j 0.8  (ไม่มีหน่วย)  
หรือจะหา normalized admittance จากส่วนกลับของ normalized impedance ก็ได้
y = 1/z = 1/(0.5 + j1) = 0.4 - j 0.8  (ไม่มีหน่วย)

รูปที่ 3 เราสามารถคำนวณหา Y, Z, y, z ได้หลายวิธี

แต่ด้วยหลักการเดียวกันก็จะได้คำตอบเดียวกันเสมอ

ธรรมชาติของอิมพิแดนซ์และแอดมิตแตนซ์

เมื่อเราเอาอิมพิแดนซ์หรือแอดมิตแตนซ์มาต่อร่วมกัน แบบอนุกรมบ้าง แบบขนานบ้างล่ะ จะเกิดอะไรขึ้น ไม่ยากครับเราก็แค่ค่อยๆ คำนวณดูทีละชั้นๆ เท่านั้นเอง
เรามาลองดูสิ่งที่เกิดขึ้นโดยปกติของอิมพิแดนซ์ (Z) กันก่อน

• เมื่อต่อ ความต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนำ "อนุกรม" เข้าด้วยกัน จะทำให้อิมพิแดนซ์ถูก "บวกเพิ่ม" ขึ้นไปเรื่อยๆ นั่นคือ Z _total = Z₁ + Z₂ + Z₃ +… (เหมือนการต่ออนุกรมความต้านทานที่เราคุ้นเคย)   
• แต่เมื่อต่อ ความต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนำ "ขนาน" เข้าด้วยกัน การคำนวณหาอิมพิแดนซ์จะยากกว่าเพราะต้องคำนวณจาก 1/Z _total = 1/Z₁ + 1/Z₂ + 1/Z₃ +… (เหมือนการขนานความต้านทานที่เราคุ้นเคย)  

คราวนี้ลองดูสิ่งที่เกิดขึ้นโดยปกติของแอดมิตแตนซ์ (Y) บ้าง

• เมื่อต่อ ความต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนำ "ขนาน" เข้าด้วยกัน จะทำให้แอดมิตแตนซ์ถูก "บวกเพิ่ม" ขึ้นไปเรื่อยๆ Y _total = Y₁ + Y₂ + Y₃ +…
• แต่เมื่อต่อ ความต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนำ "อนุกรม" เข้าด้วยกัน การคำนวณหาแอดมิตแตนซ์จะยากกว่าเพราะต้องคำนวณจาก 1/Y _total = 1/Y₁ + 1/Y₂ + 1/Y₃ +…



หรือพูดง่ายๆ ก็คือว่า ถ้าเลือกได้ เวลาต่ออนุกรมเราคงอยากคิดหาอิมพิแดนซ์มากกว่า เพราะบวกเพิ่มเข้าไปได้ตรงๆ ในทางกลับกันเวลาต่อขนานเราคงอยากใช้หรือหาค่าแอดมิตแตนซ์มากกว่าเพราะบวกกันไปได้ตรงๆ เหมือนกัน ไม่ต้องตั้งหารไปหารมาให้ยุ่งยากนั่นเอง

 

รูปที่ 4 การต่ออิมพิแดนซ์และแอดมิตแตนซ์แบบอนุกรมและขนาน

สรุปธรรมชาติของอิมพิแดนซ์และแอดมิตแตนซ์

จากที่เราเห็นมาด้านบน เราสามารถสรุปความประพฤติ หรือพฤติกรรมของอิมพิแดนซ์และแอดมิตแตนซ์ได้ดังนี้

1. เมื่อต่ออิมพิแดนซ์เข้าด้วยกันแบบอนุกรม อิมพิแดนซ์จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ (ไฟฟ้าผ่านยากขึ้นเรื่อยๆ) และค่ารวมจะบวกเพิ่มทบเข้าไปเรื่อยๆ
2. เมื่อต่อแอดมิตแตนซ์เข้าด้วยกันแบบขนาน แอดมิตแตนซ์จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ (ไฟฟ้าผ่านง่ายขึ้นเรื่อยๆ) และค่ารวมจะบวกเพิ่มทบเข้าไปเรื่อยๆ
3. เมื่อ X=0 จะทำให้ B=0 ด้วย (ในทางกลับกันก็เช่นเดียวกัน) ซึ่งเป็นสภาพที่เรียกว่า รีโซแนนซ์ (resonance)
4. แมทช์ (กับสายนำสัญญาณแบบ 50 โอห์ม) เกิดขึ้นเมื่อ R=50Ω, X=0Ω นั่นคือ G=0.02Ʊ และ B=0Ʊ  
5. ให้สังเกตลักษณะค่าของ Z, Y  ถ้า R และ/หรือ X มีค่ามาก G จะลดลง และเมื่อ X มีค่าเป็นบวก B จะมีค่าเป็นลบ (เมื่อ X เป็นลบ B จะเป็นค่าบวก) ดูการคำนวณในรูปที่ 2 จะเห็นชัด

ก่อร่างสร้าง y-plane บน Γ-plane 

ในความเป็นจริงเราสามารถหาค่า normalized admittance จากค่าของ z ที่เห็นบนสมิทชาร์ทปกติ (z-plane) โดยไม่สร้าง y-plane ต่างหากทับลงไปแล้วอ่านจาก y-plane โดยตรง (ทำได้โดยการหมุน Γ ไปเป็นมุม 180ᴼ) ถ้าจะใช้แบบครั้งคราวก็พอได้ แต่หากต้องการใช้ในการแมทช์อิมพิแดนซ์เป็นหลักแล้วล่ะก็ นับว่าไม่สะดวกและสร้างความเข้าใจในการแมทช์ต่างๆ ได้ยาก เราจึงมีความพยายามสร้าง y-plane ทับลงไปบน z-plane ที่อยู่บน Γ-plane เพื่อความสะดวกในการใช้งาน (ใจเย็นๆ ครับ อย่าเพิ่งงง)

มีหลายวิธีในการสร้าง y-plane ทับลงไปบน Γ-plane แต่วิธีที่อาจจะทำให้เข้าใจง่ายที่สุดก็คือการสร้าง y-plane จากส่วนกลับของ z-plane นั่นคือที่จุดใดๆ บน y-plane จะมีค่าเป็น 1/z ทำให้เมื่อเราคิดคำนวณในลักษณะนั้นกับทุกๆ จุด จะได้ลักษณะ y-plane เป็นเส้นวงกลมและส่วนโค้งของวงกลมแบบเดียวกับ z-plane เพียงแต่กลับด้านกันเท่านั้น ดูรูปที่ 5

ภาพที่ 5 y-plane ที่ซ้อนอยู่บน Γ-plane จะเหมือนภาพกระจกเงาของ z-plane

ประกอบไปด้วยวงกลมค่า g คงที่และเส้นโค้งค่า b คงที่

โดยครึ่งบนเป็น inductive และครึ่งล่างเป็น capacitive

จาก y-plane เราสามารถอธิบายได้คล้าย z-plane และมันทำงานร่วมกัน คือ ณ จุดใดๆ บนสมิทชาร์ทที่แสดงถึงค่าสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่จุดนั้น เราสามารถอ่านค่าของ z = r ± jx และ y = g ± jb ได้พร้อมกัน และค่านั้นจะเป็นค่าที่ถูกต้องทั้งหมดด้วย คือเมื่อคำนวณ Z = z(Zo) และY = y(Yo) ก็จะเห็นว่า Z = 1/Y จริง

อีกประเด็นที่อยากให้เพื่อนทราบ (และสำคัญมาก) ก็คือ ณ จุดบนเส้นวงกลม r, x, g, b คงที่นั้นมีความหมาย ความหมายก็คือความคงที่ของมันนั่นเอง เช่น ถ้าเราดู z-plane ในรูปที่ 1 จะเห็นวงกลม r ค่าต่างๆ แต่ละจุดบนวงกลม r ค่าเดียวกัน (เช่น r = 0.5) ค่าอิมพิแดนซ์จะมีส่วนรีซิสแตนซ์คงที่เสมอที่ 25Ω  (สมมติว่า Z₀ = 50Ω) และที่เส้นโค้ง x คงที่แต่ละเส้น อิมพิแดนซ์ต่างๆ ก็จะมีค่ารีแอคแตนซ์คงที่บนเส้นเหล่านั้นด้วย พอมาดู y-plane ในรูปที่ 5 เรื่องเหล่านี้ก็ยังเป็นจริง นั่นคือบนเส้นวงกลม g คงที่ ค่าของคอนดัคแตนซ์ (ยังไม่ลืมกันนะครับว่าแอดมิตแตนซ์มีส่วนประกอบสองส่วนคือ คอนดัคแตนซ์และซัสเซ็บแตนซ์) จะคงที่ และบนเส้นโค้ง b คงที่ ค่าของซัสเซ็บแตนซ์จะคงที่บนเส้นเหล่านั้น

รูปที่ 6 สมิทชาร์ทที่มีทั้ง z-plane (เส้นสีแดง) และ y-plane (เส้นสีน้ำเงิน) อยู่บนชาร์ทเดียวกัน

ครึ่งบนเป็น inductive (x เป็นบวก, b เป็นลบ) ครึ่งล่างเป็น capacitive (x เป็นลบ, b เป็นบวก)

ข้อสังเกตของ z-y chart

• แต่ละจุดบนชาร์ท จะแสดงสัมประสิทธิการสะท้อน
• แต่ละจุดที่มีสัมประสิทธิการสะท้อนนั้น จะอ่านค่า z = r ± jx และ y = g ± jb ได้ และค่าสองค่านี้ถูกต้องพร้อมกันในเวลาเดียวกัน
• ค่าของ r และ g เป็นบวก (positive) เสมอเพราะความต้านทานหรือความนำไฟฟ้าติดลบไม่ได้
• ครึ่งบนของชาร์ทที่แสดงความเหนี่ยวนำทางไฟฟ้า (inductive) จะมีค่า x เป็นบวก มีค่า b เป็นลบ
• ครึ่งล่างของชาร์ทที่แสดงความเก็บประจุไฟฟ้า (capacitive) จะมีค่า x เป็นลบ มีค่า b เป็นบวก
• ชาร์ทประกอบไปด้วยเส้นหลักจำนวน 4 เส้นคือ วงกลม r คงที่, วงกลม g คงที่, เส้นโค้ง x คงที่, และเส้นโค้ง b คงที่ ดูภาพที่ 1 และ 5 ประกอบ

รูปที่ 7 ตัวอย่างการอ่านค่า z และ y จากชาร์ทโดยตรง

เราย้อนกลับไปใช้ตัวเลขในรูปที่ 3 มาลองทำเครื่องหมายลงบนชาร์ทดู จะเห็นว่า
Z = 25 + j 50 Ω  
z = Z/Zo = (25 + j 50 Ω) / 50Ω = 0.5 + j1
และทำเครื่องหมายโดยการดูเส้นสีแดง (ค่าของ z) บนชาร์ท จะได้ตำแหน่งในรูปที่ 7 (จุดสีดำ)
เราสามารถอ่านได้ทันทีโดยเส้นสีน้ำเงิน (อ่านค่าของ y) ว่า ที่จุดสีดำนั้น y = 0.4 - j0.8
และจะคำนวณกลับได้ว่า 
เมื่อ Yo = 1/Zo = 1/50Ω  = 0.02 Ʊ
Y = Yo(y) =  0.008 - j 0.016 Ʊ 
ซึ่งจะตรงกับการคำนวณโดยตรงว่า
Y = 1/Z = 1/(25 + j 50Ω) = 0.008 - j 0.016 Ʊ 
นั่นเอง

เป็นไงครับ คราวนี้เราได้รู้จักกับสมิทชาร์ทเต็มรูปแบบที่สามารถนำไปใช้งานในการแมทช์ได้ง่ายขึ้นมากแล้ว คองติดตามต่อไปนะครับว่าเราจะใช้งานมันอย่างไรในบทความหน้า สำหรับวันนี้ต้องจบเรื่องนี้ก่อนครับ QRU 73 de HS0DJU/KG5BEJ (จิตรยุทธ จุณณะภาต)