จาก Smithchart ถึง zy-chart อัจฉริยภาพที่ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก

From the Smith Chart to the zy-Chart: A More Intuitive Immittance to Reflection Coefficient Mapping

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต (HS0DJU)
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)

---

เรื่องนี้อาจจะถือเป็นควันหลงจากบทความเรื่อง ทำไมสมิทชาร์ทถึงใช้แมทช์อิมพิแดนซ์ได้: ผลพลอยได้ที่ซ่อนอยู่จากทฤษฎีสายนำสัญญาณ ที่เคยเขียนไว้ก่อนหน้านี้ ซึ่งพูดถึงสมิทชาร์ทแบบ zy-chart ว่าใช้แมทช์อิมพิแดนซ์ได้อย่างไร แต่ได้ละส่วนสำคัญหนึ่งไว้ (ในฐานที่น่าจะเข้าใจ) ในจุดที่ว่ามันเป็นชาร์ทแบบ zy-chart หรือจะเรียกว่าสมิทชาร์ทที่ถูกดัดแปลงมาแล้วเล็กน้อย 

ต้องบอกเพื่อนๆ นักวิทยุสมัครเล่นไว้นิดหนึ่งว่าบทความนี้ค่อนข้างเป็นคณิตศาสตร์ (เวคเตอร์, จำนวนเชิงซ้อน, พิกัดฉากเชิงซ้อน, และพิกัดวงกลม) สักหน่อย แต่เป็นจุดสำคัญที่ผู้เขียนอยากเขียนไว้ให้ได้ศึกษากัน ตำราหลายเล่มอธิบายเรื่องนี้แต่ด้วยขั้นตอนวิธีการต่างกัน บางทีการอธิบายตามด้านล่างนี้อาจทำให้บางคนเข้าใจได้ดีกว่าการอธิบายแบบอื่นก็ได้  ซึ่งก็ย่อมเป็นประโยชน์กับผู้อ่านนั่นเอง

สมิทชาร์ทมาตรฐาน (z-chart เท่านั้น)

ถ้าเราดูสมิทชาร์ทมาตรฐาน จะเห็นว่าเป็น z-chart ( Z_L/Z₀ = z = r + jx ; z, r, x เป็นอักษรตัวเล็ก แสดงถึงการ normalized คือเทียบกับหรือถูกหารด้วย Z₀ นั่นเอง) นั่นคือเส้นต่างๆ บนชาร์ทประกอบไปด้วยเส้น normalized-resistance (r), normalized-reactance (x) ซึ่งประกอบกันเป็น normalized-impedance (z) หรือค่าที่เทียบกับ Z₀ มาแล้ว  (ดูรูปที่ 1) 

รูปที่ 1 สมิทชาร์ทปกติมาตรฐาน
จะเป็น z-chart โดยตัวเลขทั้งหมด
บนชาร์ทเป็นค่า normalized คือ
เทียบกับ Z₀ ของระบบ

โดย (ทวนความจำสักนิด)

Z_L = R_L + jX_L : Impedance ของโหลด L หน่วย Ω  
X_L : Resistance ของโหลด L  หน่วย Ω  
X_L : Reactance  ของโหลด L หน่วย Ω  
z =  Z_L / Z₀  ;  z ไม่มีหน่วย เป็น normalized impedance ของโหลดเทียบกับ Z₀ 
Z₀ เป็น Characteristic Impedance ของสายนำสัญญาณ เช่น 50 Ω 
z = r + jx   ไม่มีหน่วย
r : Normalized resistance  ไม่มีหน่วย
x : Normalized reactance  ไม่มีหน่วย

ถ้าเราดูสมิทชาร์ทให้ละเอียดขึ้น เราจะเห็นชุดของเส้นวงกลม r คงที่ โดยวงใหญ่สุดคือ r=0 วงเล็กสุดคือ r=∞  และเส้นโค้ง x คงที่ต่างๆ (x=0 คือเส้นแนวนอนผ่านกลางวงกลมพอดี โดยครึ่งล่างของวงกลมคือ x<0 หรือเป็นความจุไฟฟ้า และครึ่งบนของวงกลมคือ x>0 หรือเป็นความเหนี่ยวนำไฟฟ้า)  แสดงได้คร่าวๆ เป็นตามรูปที่ 2 

รูปที่ 2 ในภาพนี้จะอธิบายโครงสร้าง
ของเส้นต่างๆ บนสมิทชาร์ท

แต่สมิทชาร์ทที่เราใช้เพื่อแมทช์อิมพิแดนซ์ (ได้สะดวกกว่า) ที่เรียกว่า zy-chart จะมีหน้าตาในรูปที่ 3 โดยชุดของเส้นสีแดงคือ z-chart ปกติ และชุดของเส้นสีน้ำเงินคือ y-chart (ที่ถูกหมุนไป 180°)  ดูแล้วเหมือนการกลับเส้นสีแดงกลายเป็นสีฟ้าแล้วซ้อนทับลงไปง่ายๆ  แต่.. สิ่งที่เห็นว่าง่ายนั้นมีที่มาซับซ้อนเล็กน้อย แต่มีประโยชน์มหาศาล  ค่อยๆ ดูกันต่อนะครับ

รูปที่ 3 zy-chart จะง่ายในการทำงาน
กับการแมทช์อิมพิแดนซ์กว่า z-chart
จะเห็นว่ามีชุดของเส้นสีฟ้าด้วยซึ่งเป็น
y-chart (ที่ถูกหมุนไป 180ᴼ)
แล้วซ้อนทับลงไปบน z-chart อีกที

y-chart มาจากไหน

เราย้อนกลับไปดูสมิทชาร์ทแบบ z-chart ธรรมดาก่อนซึ่งเป็น Γ-plane (แกมม่าเพลน) หรือวงกลมสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ (เมื่อคลื่นเดินทางผ่านตัวกลางที่มีอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวไม่เท่ากัน) เช่น เมื่อต่อสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์เฉพาะตัว Z₀ เข้ากับโหลด (เช่น สายอากาศ) ที่มีอิมพิแดนซ์ Z_L จะหา Γ ได้เป็น

Г_L = (Z_L - Z₀)  /  (Z_L + Z₀)   ----(1) 
อย่าลืมว่าทั้ง Z_L และ Z₀ สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ (แม้ว่าเรามักจะประมาณว่า Z₀ = 50 + j0 Ω  ก็ตาม) ดังนั้นต้อง บวก ลบ คูณ หาร กันแบบจำนวนเชิงซ้อน นั่นคือ Г_L เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย  โดยตัวอักษร L ที่ห้อยอยู่หมายถึงสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ ณ จุดต่อเชื่อมระหว่างสายนำสัญญาณกับโหลด L 

ในการใช้งานสมิทชาร์ทจริงๆ เรามักไม่คำนวณตามสมการ (1) แต่หา z = Z_L/Z₀ = r + jx  จากนั้นหาจุดตัดของ r และ x บนสมิทชาร์ท ก็จะได้ตำแหน่งของ Г โดยไม่ต้องหารจำนวนเชิงซ้อน แถมสมการ (1) ยังให้ผลเป็นพิกัดฉากอีกในขณะที่ถ้าเรามองสมิทชาร์ทเป็นพิกัดทรงกลมจะดูเป็นธรรมชาติกว่า 

หารสมการ (1) ด้วย Z₀ ทั้งข้างบนและข้างล่าง ได้

Г_L = (z_L - 1)  /  (z_L + 1)   ----(2) 

เพราะ z_L =  Z_L / Z₀  ;   z_L เป็น normalized impedance ของโหลดเทียบกับ Z₀  
(สังเกตดูดีๆ นะครับว่าตัวอักษร Z ตัวใหญ่และ z ตัวเล็กมีความหมายต่างกัน

โดยที่ขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г_L จะอยู่ระหว่าง 0 และ 1 เท่านั้น
0  ≤  | Г_L |  ≤  1  

เรารู้ว่า

Y_L =  1 / Z_L  ;  Y_L เป็นแอดมิตแตนซ์ของโหลด (หน่วย ℧  หรือ siemens หรือ mho)
Y₀ =  1 / Z₀  ;  Y₀ เป็นแอดมิตแตนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ (สำหรับสาย Z₀ = 50 Ω, Y₀ = 0.02 ℧) 
โดยที่
Y = G + jB  หน่วย ℧ 
G : Conductance  หน่วย ℧
B : Susceptance  หน่วย ℧
y = Y / Y₀  : Normalized Admittance
y = g + jb   ไม่มีหน่วย 
g : Normalized-conductace  ไม่มีหน่วย
b : Normalized-susceptance  ไม่ม่หน่วย

จึงเขียนสมการ (1) ใหม่ได้เป็น   

Г_L =  [ 1/Y_L  -  1/Y₀ ] / [ 1/Y_L +  1/Y₀ ]    

จัดสมการใหม่ได้เป็น

Г_L = [ (Y₀ - Y_L) / (Y₀ Y_L) ] / [ (Y₀ + Y_L) / (Y₀ Y_L) ]   

Г_L = (Y₀ - Y_L) / (Y₀ + Y_L)   

คูณด้านขวาด้วย -1 ทั้งด้านบนและด้านล่าง

Г_L = (-Y₀ + Y_L) / (-Y₀ - Y_L)   

Г_L = (+Y_L - Y₀) / (-Y_L - Y₀)     

Г_L = (Y_L - Y₀) / -1 (Y_L + Y₀)   

Г_L = -1 [(Y_L - Y₀) / (Y_L + Y₀)  ----(3) 

และเรารู้ว่า 
y_L =  Y_L / Y₀  ซึ่งเป็น normalized admittance เป็นจำนวนเชิงซ้อน
y_L = g_L + j b_L    

ดังนั้นเขียน (3) ใหม่ได้เป็น    
Г_L = -1 [ (y_L - 1) / (y_L + 1) ]   ----(4) 

มาถึงตรงนี้ดูตรงไปตรงมานะครับ ไม่มีอะไรแปลกนัก แต่ความหมายของสมการ (4) ก็คือ เราสามารถหา Г_L ได้จาก y_L ด้วย (แม้มันจะดูมีตัวคูณ -1 อยู่ด้วยก็ตาม)  

ในสมการ (5) ถ้าเราเรียก
(y_L - 1) / (y_L + 1) = Г_Ly   -----(5) 
โดย  Г_Ly เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่หาจาก y (โดยที่ y = 1/z = g + jb) 
นั่นคือถ้าเราดูรูปที่ 2 โดยมองวงกลม r ในภาพเป็นวงกลม g และมองเส้นโค้ง x ในภาพเป็นเส้นโค้ง b เสีย นั่นคือ y-chart ของเรา และจุดตัด g และ b จะทำให้ได้ Г_Ly  ง่ายๆ แบบนั้นเลย

จากสมการ (4) และ (5) จะเห็นว่า
Г_L = - Г_Ly   ---(6) 

Г_Ly เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่คำนวณจาก normalized admittance (y_L)  
ในขณะที่  Г_L เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่คำนวณจาก normalized impedance (z_L)  

เปรียบเทียบสมการ (2) และ (4) และดูสมการ (6) จะเห็นว่า การคำนวณหาสัมประสิทธิการสะท้อนกลับจาก normalized impedance (z_L) กับคำนวณจาก normalized admittance (y_L) จะได้ค่าเป็น negative ซึ่งกันและกันซึ่งเราต้องทำความเข้าใจต่อว่าบอกอะไรเรา    เรารู้ว่า Г เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับเป็นเวคเตอร์ที่อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย

และเขียนในรูป Polar ได้เป็น 
Г =  |Г|∠θ   ;  เมื่อ |Г| เป็นขนาด และ θ เป็นมุม
แต่ในขณะเดียวกัน 
Г = Re(Г) + j Im(Г)  ด้วยในรูป Rectangular 

และการที่ค่าเป็น negative หรือติดลบ (มี -1 คูณอยู่) นั้นในรูป Polar คือการที่ Re(Г) และ Im(Г) กลับเครื่องหมายพร้อมกัน  และในรูป Polar คือการที่ Г ถูกหมุนเพิ่มเข้าไป 180° อธิบายได้ตามด้านล่าง: 

สมมติ  Г_a  =  |Г_a|∠θ_a   
ถ้า  Г_b =  - Г_a   
Г_b จะ = |Г_a|∠θ_a + 180°  -----(7) 
(ในการทำงานกับ Smithchart การมองในรูป Polar จะสะดวกกว่า) 

สมการ (6) และ (7) จึงบอกเราว่าสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г ที่หาจาก normalized impedance (z_L)  และ Г_Ly ที่หาจาก normalized admittance (y_L) จะมีค่าเท่ากันถ้า Г ถูกหมุนไป 180°    หรือจะให้ชีวิตง่ายกว่านั้นก็คือหมุน y-chart หรือ z-chart (อันใดอันหนึ่ง) ไป 180° รอไว้ก่อนเลย!   โดยปกติเราก็เลือกให้ z-chart อยู่เฉยๆ แล้วหมุน y-chart ไป 180°   เมื่อจับทั้งสองแผนภูมิซ้อนทับกัน (superimposed) ก็จะได้ zy-chart แบบที่เราใช้อยู่ในปัจจุบันนั่นเอง 

รูปที่ 4 คือความหมายของสมการ (6)
รูป (a) คือ y-chart จริงๆ ที่ถ้าเราหาจุด
 y = g + jb บนชาร์ทจะได้ Г_Ly  แต่
ตำแหน่งของ  Г_Ly จะเป็น - Г_L 
ที่มีความหมายว่าถูกหมุนไป 180° 
รูป (b) เมื่อหมุน y-chart เดิมไป 180° 
จะได้ Г ที่หาจาก z และ y เท่ากัน

ความหมายของรูปที่ 4 ก็คือ ถ้าเราหมุน y-chart ไป 180° ไม่ว่าเราจะหา Г ด้วย z หรือ y เราจะได้ Г ค่าเดียวกัน จุดเดียวกัน และนั่นหมายถึงว่า ที่จุดใดๆ บน zy-chart ค่าของ z และ y ที่อ่านโดยตรงจาก smithchart จะมีค่าถูกต้องคือ z = 1/y, y = 1/z นั่นเอง  ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญมากที่ทำให้เราใช้งานมันแมทช์อิมพิแดนซ์ได้ง่ายขึ้นมาก  และต้องไม่ลืมนะครับว่าในชุดของ y-chart เส้นสีฟ้าเวลานี้นั้นค่าของ normalized susceptance (b) ที่เป็นบวกจะอยู่ด้านล่าง และที่เป็นลบจะอยู่ด้านบน (ตามในรูป 4 b)

สรุป

ด้วยความที่เราสามารถซ้อนทับ y-chart ลงบน z-chart ได้ และทุกจุดบนสมิทชาร์ทแสดงค่าของ z และ y ที่สอดคล้องกัน ซ้ำยังมีเส้น r, x, g, b คงที่ต่างๆ อีก ทำให้เห็นผลการต่อตัวเหนี่ยวนำ L และตัวเก็บประจุ C ทั้งแบบขนานและอนุกรมตามการเปลี่ยนแปลงของ x และ b รวมได้แบบแผนภาพ สุดท้ายก็คือทำให้เราแมทช์อิมพิแดนซ์ได้ง่ายนั่นเอง 

---

© 2025 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ
อนุญาตให้เผยแพร่เพื่อการศึกษาไม่แสวงหากำไร โดยต้องให้เครดิตผู้เขียน ห้ามคัดลอก ดัดแปลง หรือใช้ในเชิงพาณิชย์โดยไม่ได้รับอนุญาต