จาก Smithchart ถึง zy-chart อัจฉริยภาพที่ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก

From the Smith Chart to the zy-Chart: A More Intuitive Immittance to Reflection Coefficient Mapping

โดย จิตรยุทธ จุณณะภาต / Jitrayut Chunnabhata (HS0DJU)
Electrical Engineer, Amateur Radio Operator
Independent Researcher in RF and Applied Electromagnetics
หมายเหตุ: บทความนี้สงวนลิขสิทธิ์โดยผู้เขียน (โปรดดูรายละเอียดด้านล่างสุด)

---

เรื่องนี้อาจจะถือเป็นควันหลงจากบทความเรื่อง ทำไมสมิทชาร์ทถึงใช้แมทช์อิมพิแดนซ์ได้: ผลพลอยได้ที่ซ่อนอยู่จากทฤษฎีสายนำสัญญาณ ที่เคยเขียนไว้ก่อนหน้านี้ ซึ่งพูดถึงสมิทชาร์ทแบบ zy-chart ว่าใช้แมทช์อิมพิแดนซ์ได้อย่างไร แต่ได้ละการอธิบายส่วนสำคัญไว้ (ในฐานที่น่าจะเข้าใจ) ในจุดที่ว่ามันเป็นชาร์ทแบบ zy-chart หรือจะเรียกว่าสมิทชาร์ทที่ถูกดัดแปลงมาแล้วเล็กน้อยก็ไม่ผิด 

หมายเหตุ
ต้องบอกเพื่อนๆ นักวิทยุสมัครเล่นไว้นิดหนึ่งว่าบทความนี้ค่อนข้างเป็นคณิตศาสตร์ (เวคเตอร์, จำนวนเชิงซ้อน, พิกัดฉากเชิงซ้อน, และพิกัดวงกลม) สักหน่อย แต่เป็นจุดสำคัญที่ผู้เขียนอยากเขียนไว้ให้ได้ศึกษากัน ตำราหลายเล่มอธิบายเรื่องนี้แต่ด้วยขั้นตอนวิธีการต่างกัน บางทีการอธิบายตามด้านล่างนี้อาจทำให้บางคนเข้าใจได้ดีกว่าการอธิบายแบบอื่นก็ได้  ซึ่งก็ย่อมเป็นประโยชน์กับผู้อ่านนั่นเอง

สมิทชาร์ทมาตรฐาน (z-chart เท่านั้น)

ถ้าเราดูสมิทชาร์ทมาตรฐาน จะเห็นว่าเป็น z-chart ( Z_L/Z₀ = z = r + jx ; z, r, x เป็นอักษรตัวเล็ก ไม่มีหน่วย แสดงถึงการ normalized คือเทียบกับหรือถูกหารด้วย Z₀ นั่นเอง) นั่นคือเส้นต่างๆ บนชาร์ทประกอบไปด้วยเส้น normalized-resistance (r), normalized-reactance (x) ซึ่งประกอบกันเป็น normalized-impedance (z) หรือค่าที่เทียบกับ Z₀ มาแล้ว  (ดูรูปที่ 1) 

รูปที่ 1 สมิทชาร์ทปกติมาตรฐาน
จะเป็น z-chart โดยตัวเลขทั้งหมด
บนชาร์ทเป็นค่า normalized คือ
เทียบกับ Z₀ ของระบบ

โดย (ทวนความจำสักนิด)

Z_L = R_L + jX_L : Impedance ของโหลด L หน่วย Ω  
R_L : Resistance ของโหลด L  หน่วย Ω  
X_L : Reactance  ของโหลด L หน่วย Ω  
Z₀ เป็น Characteristic Impedance ของสายนำสัญญาณ เช่น 50 Ω 
z =  Z_L / Z₀  ;  z เป็น normalized impedance ของโหลดเทียบกับ Z₀ (ไม่มีหน่วย เพราะหน่วย Ω ของทั้ง Z_L และ Z₀ ตัดกันไป)
z = r + jx   ไม่มีหน่วย
r : Normalized resistance  ไม่มีหน่วย
x : Normalized reactance  ไม่มีหน่วย

ถ้าเราดูสมิทชาร์ทให้ละเอียดขึ้น เราจะเห็นชุดของเส้นวงกลม r คงที่ โดยวงใหญ่สุดคือ r=0 วงเล็กสุดคือ r=∞  และเส้นโค้ง x คงที่ต่างๆ (x=0 คือเส้นแนวนอนผ่านกลางวงกลมพอดี โดยครึ่งล่างของวงกลมคือ x<0 หรือเป็นความจุไฟฟ้า และครึ่งบนของวงกลมคือ x>0 หรือเป็นความเหนี่ยวนำไฟฟ้า)  แสดงได้คร่าวๆ เป็นตามรูปที่ 2 

รูปที่ 2 ในภาพนี้จะอธิบายโครงสร้าง
ของเส้นต่างๆ บนสมิทชาร์ท

แต่สมิทชาร์ทที่เราใช้เพื่อแมทช์อิมพิแดนซ์ (ได้สะดวกกว่า) ที่เรียกว่า zy-chart จะมีหน้าตาในรูปที่ 3 โดยชุดของเส้นสีแดงคือ z-chart ปกติ และชุดของเส้นสีน้ำเงินคือ y-chart (ที่ถูกหมุนไป 180°)  ดูแล้วเหมือนการกลับเส้นสีแดงกลายเป็นสีฟ้าแล้วซ้อนทับลงไปง่ายๆ  แต่.. สิ่งที่เห็นว่าง่ายนั้นมีที่มาซับซ้อนเล็กน้อย แต่มีประโยชน์มหาศาล  ค่อยๆ ดูกันต่อนะครับ

รูปที่ 3 zy-chart จะง่ายในการทำงาน
กับการแมทช์อิมพิแดนซ์กว่า z-chart
จะเห็นว่ามีชุดของเส้นสีฟ้าด้วยซึ่งเป็น
y-chart (ที่ถูกหมุนไป 180ᴼ)
แล้วซ้อนทับลงไปบน z-chart อีกที

y-chart มาจากไหน

เราย้อนกลับไปดูสมิทชาร์ทแบบ z-chart ธรรมดาก่อนซึ่งเป็น Γ-plane (แกมม่าเพลน) หรือวงกลมสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ (เมื่อคลื่นเดินทางผ่านตัวกลางที่มีอิมพิแดนซ์เฉพาะตัวไม่เท่ากัน) เช่น เมื่อต่อสายนำสัญญาณที่มีอิมพิแดนซ์เฉพาะตัว Z₀ เข้ากับโหลด (เช่น สายอากาศ) ที่มีอิมพิแดนซ์ Z_L จะหา Γ ได้เป็น

Г_L = (Z_L - Z₀)  /  (Z_L + Z₀)   ----(1) 
อย่าลืมว่าทั้ง Z_L และ Z₀ สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ (แม้ว่าเรามักจะประมาณว่า Z₀ = 50 + j0 Ω  ก็ตาม) ดังนั้นต้อง บวก ลบ คูณ หาร กันแบบจำนวนเชิงซ้อน นั่นคือ Г_L เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย  โดยตัวอักษร L ที่ห้อยอยู่หมายถึงสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ ณ จุดต่อเชื่อมระหว่างสายนำสัญญาณกับโหลด L 

ในการใช้งานสมิทชาร์ทจริงๆ เรามักไม่คำนวณตามสมการ (1) แต่หา z = Z_L/Z₀ = r + jx  จากนั้นหาจุดตัดของ r และ x บนสมิทชาร์ท ก็จะได้ตำแหน่งของ Г โดยไม่ต้องหารจำนวนเชิงซ้อน แถมสมการ (1) ยังให้ผลเป็นพิกัดฉากอีกในขณะที่ถ้าเรามองสมิทชาร์ทเป็นพิกัดทรงกลมจะดูเป็นธรรมชาติกว่า 

หารสมการ (1) ด้วย Z₀ ทั้งข้างบนและข้างล่าง ได้

Г_L = (z_L - 1)  /  (z_L + 1)   ----(2) 

เพราะ z_L =  Z_L / Z₀  ;   z_L เป็น normalized impedance ของโหลดเทียบกับ Z₀  
(สังเกตดูดีๆ นะครับว่าตัวอักษร Z ตัวใหญ่และ z ตัวเล็กมีความหมายต่างกัน

โดยที่ขนาดของสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г_L จะอยู่ระหว่าง 0 และ 1 เท่านั้น
0  ≤  | Г_L |  ≤  1  

เรารู้ว่า

Y_L =  1 / Z_L  ;  Y_L เป็นแอดมิตแตนซ์ของโหลด (หน่วย ℧  หรือ siemens หรือ mho)
Y₀ =  1 / Z₀  ;  Y₀ เป็นแอดมิตแตนซ์เฉพาะตัวของสายนำสัญญาณ (สำหรับสาย Z₀ = 50 Ω, Y₀ = 0.02 ℧) 
โดยที่
Y = G + jB  หน่วย ℧ 
G : Conductance  หน่วย ℧
B : Susceptance  หน่วย ℧
y = Y / Y₀  : Normalized Admittance
y = g + jb   ไม่มีหน่วย 
g : Normalized-conductace  ไม่มีหน่วย
b : Normalized-susceptance  ไม่ม่หน่วย

จึงเขียนสมการ (1) ใหม่ได้เป็น   

Г_L =  [ 1/Y_L  -  1/Y₀ ] / [ 1/Y_L +  1/Y₀ ]    

จัดสมการใหม่ได้เป็น

Г_L = [ (Y₀ - Y_L) / (Y₀ Y_L) ] / [ (Y₀ + Y_L) / (Y₀ Y_L) ]   

Г_L = (Y₀ - Y_L) / (Y₀ + Y_L)   

คูณด้านขวาด้วย -1 ทั้งด้านบนและด้านล่าง

Г_L = (-Y₀ + Y_L) / (-Y₀ - Y_L)   

Г_L = (+Y_L - Y₀) / (-Y_L - Y₀)     

Г_L = (Y_L - Y₀) / -1 (Y_L + Y₀)   

Г_L = -1 [(Y_L - Y₀) / (Y_L + Y₀)  ----(3) 

และเรารู้ว่า 
y_L =  Y_L / Y₀  ซึ่งเป็น normalized admittance เป็นจำนวนเชิงซ้อน
y_L = g_L + j b_L    

ดังนั้นเขียน (3) ใหม่ได้เป็น    
Г_L = -1 [ (y_L - 1) / (y_L + 1) ]   ----(4) 

มาถึงตรงนี้ดูตรงไปตรงมานะครับ ไม่มีอะไรแปลกนัก แต่ความหมายของสมการ (4) ก็คือ เราสามารถหา Г_L ได้จาก y_L ด้วย (แม้มันจะดูมีตัวคูณ -1 อยู่ด้วยก็ตาม)  

ในสมการ (4) ถ้าเราเรียก
(y_L - 1) / (y_L + 1) = Г_Ly   -----(5) 
โดย  Г_Ly เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่หาจาก y (โดยที่ y = 1/z = g + jb) 
นั่นคือถ้าเราดูรูปที่ 2 โดยมองวงกลม r ในภาพเป็นวงกลม g และมองเส้นโค้ง x ในภาพเป็นเส้นโค้ง b เสีย นั่นคือ y-chart ของเรา และจุดตัด g และ b จะทำให้ได้ Г_Ly  ง่ายๆ แบบนั้นเลย

จากสมการ (4) และ (5) จะเห็นว่า
Г_L = - Г_Ly   ---(6) 

Г_Ly เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่คำนวณจาก normalized admittance (y_L)  
ในขณะที่  Г_L เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับที่คำนวณจาก normalized impedance (z_L)  

เปรียบเทียบสมการ (2) และ (4) และดูสมการ (6) จะเห็นว่า การคำนวณหาสัมประสิทธิการสะท้อนกลับจาก normalized impedance (z_L) กับคำนวณจาก normalized admittance (y_L) จะได้ค่าเป็น negative ซึ่งกันและกันซึ่งเราต้องทำความเข้าใจต่อว่าบอกอะไรเรา    เรารู้ว่า Г เป็นสัมประสิทธิการสะท้อนกลับเป็นเวคเตอร์ที่อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย

และเขียนในรูป Polar ได้เป็น 
Г =  |Г|∠θ   ;  เมื่อ |Г| เป็นขนาด และ θ เป็นมุม
แต่ในขณะเดียวกัน 
Г = Re(Г) + j Im(Г)  ด้วยในรูป Rectangular 

และการที่ค่าเป็น negative หรือติดลบ (มี -1 คูณอยู่) นั้นในรูป Polar คือการที่ Re(Г) และ Im(Г) กลับเครื่องหมายพร้อมกัน  และในรูป Polar คือการที่ Г ถูกหมุนเพิ่มเข้าไป 180° อธิบายได้ตามด้านล่าง: 

สมมติ  Г_a  =  |Г_a|∠θ_a   
ถ้า  Г_b =  - Г_a   
Г_b จะ = |Г_a|∠θ_a + 180°  -----(7) 
(ในการทำงานกับ Smithchart การมองในรูป Polar จะสะดวกกว่า) 

สมการ (6) และ (7) จึงบอกเราว่าสัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г ที่หาจาก normalized impedance (z_L)  และ Г_Ly ที่หาจาก normalized admittance (y_L) จะมีค่าเท่ากันถ้า Г ถูกหมุนไป 180°    หรือจะให้ชีวิตง่ายกว่านั้นก็คือหมุน y-chart หรือ z-chart (อันใดอันหนึ่ง) ไป 180° รอไว้ก่อนเลย!   โดยปกติเราก็เลือกให้ z-chart อยู่เฉยๆ แล้วหมุน y-chart ไป 180°   เมื่อจับทั้งสองแผนภูมิซ้อนทับกัน (superimposed) ก็จะได้ zy-chart แบบที่เราใช้อยู่ในปัจจุบันนั่นเอง 

รูปที่ 4 คือความหมายของสมการ (6)

รูป (a) คือ chart ที่เราหาเวคเตอร์ Г_L จาก

z = r + jx แต่เรารู้ว่าเวคเตอร์ Г_Ly = -Г_L 

ซึ่งเวคเตอร์ Г_Ly มาจาก 1/z = y = g - jb

นั่นคือจุด Г_Ly แสดงค่าของ y ด้วย

ถ้าเราหมุน chart เฉพาะเมื่อเราสนใจ y 

(y-chart) ไป 180°  (ได้รูป b) → Г_L ที่หาจาก

z และ Г_Ly ที่หาจาก y จะอยู่ที่จุดเดียวกัน

 → นั่นคือเราหา Г_L จาก z หรือ y ก็ได้จาก

z-180°rotated-y-chart นี้ 

ข้อสังเกต

ที่จริงแล้วชื่อที่แท้จริงของ zy-chart ในรูปที่ 3 ควรจะเป็น z-180°rotated-y-chart  ซึ่งจะสื่อความหมายถึงที่มาและสิ่งที่มันเป็นได้ดีที่สุด

ความหมายของรูปที่ 4 ก็คือ ถ้าเราหมุน y-chart ไป 180° ไม่ว่าเราจะหา Г ด้วย z หรือ y เราจะได้ Г ค่าเดียวกัน เป็นจุดเดียวกันบนแผนภูมิ และนั่นหมายถึงว่า ที่จุดใดๆ บน zy-chart ค่าของ z และ y ที่อ่านโดยตรงจาก Smithchart จะมีค่าถูกต้องพร้อมกันโดย z = 1/y, y = 1/z นั่นเอง  ซึ่งนี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ทำให้เราใช้งานมันแมทช์อิมพิแดนซ์ได้ง่ายขึ้นมาก

ต้องไม่ลืมนะครับว่าในชุดของ y-chart เส้นสีฟ้าเวลานี้นั้นค่าของ normalized susceptance (b) ที่เป็นบวกจะอยู่ด้านล่าง และที่เป็นลบจะอยู่ด้านบน (ตามในรูป 4 b) ซึ่งก็คือรูปเดียวกับภาพหัวเรื่องของบทความนี้นั่นเอง  สำหรับการนำ zy-chart ไปใช้งานในการแมทช์อิมพิแดนซ์แนะนำให้อ่านเรื่อง ทำไมสมิทชาร์ทถึงใช้แมทช์อิมพิแดนซ์ได้: ผลพลอยได้ที่ซ่อนอยู่จากทฤษฎีสายนำสัญญาณ

สรุป

ด้วยความที่เราสามารถซ้อนทับ y-chart (ที่ถูกหมุน 180° นะ แต่ถ้าเรากลับให้ -b อยู่ด้านบน และ +b อยู่ด้านล่าง ก็ยังอนุโลมเรียก y-chart ได้ล่ะ) ลงบน z-chart ได้ และทุกจุดบนสมิทชาร์ทแสดงค่าของ z และ y ที่สอดคล้องกัน ซ้ำยังมีเส้น r, x, g, b คงที่ต่างๆ อีก ทำให้เห็นผลการต่อตัวเหนี่ยวนำ L และตัวเก็บประจุ C ทั้งแบบขนานและอนุกรมตามการเปลี่ยนแปลงของ x และ b รวมได้แบบแผนภาพ สุดท้ายก็คือทำให้เราแมทช์อิมพิแดนซ์ได้ง่ายนั่นเอง 

---

©Jitrayut Chunnabhata, 202ุ5.

This article is based on well-established engineering principles. The content reflects the author's own explanation and presentation. You are welcome to reference or use this material for educational purposes, provided that proper credit is given. Direct reproduction or republication of the content is discouraged. 

© 2025 จิตรยุทธ จุณณะภาต สงวนลิขสิทธิ

เนื้อหาในบทความนี้อ้างอิงจากหลักการทางวิศวกรรมที่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไป ผู้เขียนได้เรียบเรียงและอธิบายในรูปแบบเฉพาะของตนเอง สามารถนำไปอ้างอิงหรือใช้เพื่อการศึกษาได้โดยกรุณาให้เครดิตแหล่งที่มาอย่างเหมาะสม และหลีกเลี่ยงการคัดบอกเนื้อหาไปเผยแพร่ซ้ำโดยตรง