การใช้สมิทชาร์ทในการแมทช์อิมพิแดนซ์

 

หลังจากที่เราได้รู้ทั้งที่มาของสมิทชาร์ท ได้รู้ว่าเส้นต่างๆ มาได้อย่างไร แถมด้วยรู้ว่าสมิทชาร์ทแบบพิเศษ (zy-chart) ที่มีทั้งเส้น z = r ± jx และ y = g ± jb อยู่ในชาร์ทเดียวกันมีหน้าตาอย่างไรและหมายถึงอะไร ก็มาถึงการนำความรู้มาใช้งานกับการแมทช์อิมพิแดนซ์นั่นเอง

การแมทช์อิมพิแดนซ์โดยปกติแล้วเราจะใช้ส่วนประกอบที่เป็นอุปกรณ์ที่ไม่ทำให้เกิดการสูญเสียพลังงาน (ส่วนใหญ่คือไปในรูปของความร้อน) นั่นคือไม่ใช้ตัวความต้านทาน และนิยมใช้ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำในการทำมาเป็นส่วนประกอบของวงจรแมทช์ เหตุผลคืออุปกรณ์สองตัวนี้จะทำหน้าที่เก็บพลังงานเอาไว้ในตัวมันแล้วคายออกมาในภายหลัง ถ้าเป็นตัวเก็บประจุก็จะเก็บพลังงานเอาไว้ในรูปของสนามไฟฟ้า ถ้าเป็นตัวเหนี่ยวนำก็เก็บไว้ในรูปของสนามแม่เหล็ก ทำให้พลังงานรวมไม่หายไปไหนจึงนิยมนำมาทำวงจรแมทชิ่ง เรียกว่าวงจรแมทชิ่งแบบไม่สูญเสีย (lossless matching circuit)
คุณสมบัติของตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ

ความต้านทานและความนำไฟฟ้าของ L และ C

คราวนี้เรามาดูคุณสมบัติทางไฟฟ้าของอุปกรณ์สองตัวที่เป็นพระเอกในการแมทช์อิมพิแดนซ์ของเรากัน โดยเราจะดูแยกแต่ละอย่างว่ามีอิมพิแดนซ์ (Z, impedance) และแอดมิตแตนซ์ (Y, admittance) เป็นเท่าใด โดยที่สุดท้ายจะเห็นว่าทั้งคู่จะมีแต่ รีแอคแตนซ์ (X, reactance) และซัสเซ็บแตนซ์ (B, susceptance) เพราะเป็นอุปกรณ์รีแอคทีฟทั้งคู่จึงไม่มีส่วน (component) ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นจำนวนจริงนั่นเอง (แปลว่าในทางทฤษฎีจะไม่มีการสูญเสียพลังงาน)

รูปที่ 1 รีแอคแตนซ์ (ส่วน X ใน Z = R + jX)

และซัสเซ็ปแตนซ์ (ส่วน B ใน Y = G + jB)

ของตัวเก็บประจุ (C) และตัวเหนี่ยวนำ (L)

เราคงจำกันได้ว่าในบทความเรื่อง zy-chart คืออะไร เราเคยคุยเรื่องการต่ออุปกรณ์แบบขนานและอนุกรมเข้าด้วยกัน และบอกว่าถ้าเราเลือกได้เราก็จะเลือกคำนวณด้วยอิมพิแดนซ์กับการต่อแบบอนุกรม และเลือกคำนวณด้วยแอดมิตแตนซ์สำหรับการต่อแบบขนานเพราะมันสามารถบวกกันเข้าไปได้ตรงๆ ง่ายๆ เราลองมาดูตัวอย่างให้เห็นจริงกันบ้างดีกว่าว่าถ้าเราทำแบบนั้นจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง และสิ่งที่ "เกิดขึ้นบน zy-chart จะเป็นอย่างไร"

 

รูปที่ 2 รูปที่ 2 การต่อ C และ L อนุกรมเข้าไปกับอิมพิแดนซ์
ที่มีอยู่จะเห็นว่าการต่ออนุกรมทำให้อิมพิแดนซ์เปลี่ยนไปตาม
เส้นวงกลม r คงที่การต่อตัวเก็บประจุ C ทำให้อิมพิแดนซ์
รวมเลื่อนทวนเข็มนาฬิกา (x ลดลง) การต่อตัวเหนี่ยวนำ L
ทำให้อิมพิแดนซ์รวมเลื่อนตามเข็มนาฬิกา (x เพิ่มขึ้น)

รูปที่ 2 แสดงการต่อตัวเก็บประจุ C และตัวเหนี่ยวนำ L อนุกรมเข้าไปกับอิมพิแดนซ์ที่มีอยู่ ทางคณิตศาสตร์จะเป็นการบวกกันเข้าไปตรงๆ จะทำให้ค่ารีซิสแตนซ์ (R) คงเดิม (เพราะเราไม่ได้เพิ่ม R เข้าไป) และรีแอคแตนซ์ (X) เปลี่ยนไป การต่อตัวเก็บประจุอนุกรมเข้าไปจะลดค่าของรีแอคแตนซ์ลงและ "เป็นการเลื่อนจุด Γ (สัมประสิทธิการสะท้อน แกมม่า) ไปบนเส้น r คงที่ในทิศทวนเข็มนาฬิกา" ส่วนจะเลื่อนไปไกลแค่ไหนก็ขึ้นกับค่าของ X_C ที่นำมาต่อนั้น และการต่อตัวเหนี่ยวนำอนุกรมเข้าไปจะเพิ่มค่าของรีแอคแตนซ์และ "เป็นการเลื่อนจุด Γ ไปบนเส้น r คงที่ในทิศตามเข็มนาฬิกา" ส่วนจะเลื่อนไปไกลแค่ไหนก็ขึ้นกับค่าของ X_L ที่นำมาต่อนั้นเช่นกัน  จากตัวอย่างในรูปที่ 2 (b) และ (e) จะทำให้อิมพิแดนซ์รวมเป็น 50 + j0 Ω และทำให้จุด Г ไปอยู่ที่ศูนย์กลางคือ Г = 0 หรือแมทช์นั่นเอง

รูปที่ 3 การต่อ C และ L ขนานเข้าไปกับแอดมิตแตนซ์
ที่มีอยู่ การต่อขนานจะทำให้แอตมิตแตนซ์เปลี่ยนไป
ตามเส้นวงกลม g คงที่  การขนานตัวเก็บประจุ C เข้าไป
ทำให้แอตมิตแตนซ์รวมเลื่อนตามเข็มนาฬิกา (b เพิ่มขึ้น)
การขนานตัวเหนี่ยวนำ L เข้าไปทำให้แอตมิตแตนซ์รวม
เลื่อนทวนเข็มนาฬิกา (b ลดลง)

รูปที่ 3 นี้อาจจะเรียกได้ว่าเป็นฝาแฝดของรูปที่ 2 ก็ได้ แต่นี่ล่ะที่คือการนำเอาแอดมิตแตนซ์ที่เราคุ้นเคยน้อยกว่าอิมพิแดนซ์มาใช้งาน การต่ออนุกรมตัวเก็บประจุ C และตัวเหนี่ยวนำ L ขนานเข้าไปกับแอดมิตแตนซ์ที่มีอยู่ ทางคณิตศาสตร์จะบวกกันเข้าไปตรงๆ จะทำให้คอนดัคแตนซ์ (G) คงเดิม (เพราะเราไม่ได้เพิ่ม conductance G เข้าไป) แต่ซัสเซ็บแตนซ์ (B) เปลี่ยนไป ถ้าเราต่อตัวเก็บประจุขนานเข้าไปจะ "เป็นการเลื่อนจุด Γ ไปบนเส้น g คงที่ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา" ส่วนจะเลื่อนไปไกลแค่ไหนก็ขึ้นกับค่าของ B_C ที่นำมาต่อนั้น และถ้าเราต่อตัวเหนี่ยวนำขนานเข้าไปจะ "เป็นการเลื่อนจุด Γ ไปบนเส้น g คงที่ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา" ส่วนจะเลื่อนไปไกลแค่ไหนก็ขึ้นกับค่าของ B_L ที่นำมาต่อนั้นเช่นกัน จากตัวอย่างในรูปที่ 3 (h) และ (k) จะทำให้แอตมิตแตนซ์รวมเป็น 0.02 + j0 Ʊ  และทำให้จุด Г ไปอยู่ที่ศูนย์กลางคือ Г = 0 หรือแมทช์นั่นเอง

พูดกันง่ายๆ อีกทีก็คือ การต่อตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำแบบอนุกรมและขนานจะทำได้ 4 แบบ และจะทำให้ Γ ขยับไปตามเส้น r คงที่หรือ g คงที่แล้วแต่ว่าเป็นอุปกรณ์ใดและต่อแบบไหน เมื่อใดก็ตามที่เราสามารถทำให้ Γ มาอยู่ตรงจุดศูนย์กลางของวงกลมได้ก็จะถือว่าเกิดการแมทช์ขึ้น (Γ = 0, r=1, x=0, g=1, b=0) นั่นเอง หน้าที่เราก็คือการเลือกอุปกรณ์ (C หรือ L) และวิธีการต่อเพื่อให้ Γ มัน "ไต่ไปตามวงกลม r และ/หรือ g คงที่" จนไปถึงจุดศูนย์กลางของ Γ-plane ให้ได้นั่นเอง ดูรูปที่ 4

รูปที่ 4 การต่อ L, C ด้วยวิธีต่างๆ กันทำให้
สัมประสิทธิการสะท้อนกลับ Г 
(และอิมพิแดนซ์) ขยับไปตามภาพ

ตัวอย่างการแมทช์อิมพิแดนซ์ด้วยสมิทชาร์ท

คราวนี้มาลองดูตัวอย่างจริงกัน สมมติว่าเรามีโหลดเป็นสายอากาศที่มีอิมพิแดนซ์เป็นอินดัคตีฟ (inductive คือมีส่วนผสมของความเหนี่ยวนำเข้ามาด้วย) ขนาด
Z = 20 + j 40 Ω 
และคำนวณค่าอิมพิแดนซ์เทียบฐาน (normalized impedance) ได้เป็น
z = Z/Z₀  
z = 0.4 + j 0.8
พล้อตลงไปบนสมิทชาร์ทได้ที่จุด ①
ดูรูปที่ 5

 

รูปที่ 5 ตัวอย่างการแมทช์อิมพิแดนซ์จากจุด ① ไปยังจุด ③
ซึ่งเป็นจุดที่  Г=0, z=1+j0, Z=50Ω, y=1+j0, Y=0.02Ʊ 
คือแมทช์นั่นเอง

ทีนี้ ความสนุกมันอยู่ตรงนี้ครับ คือ เราสามารถเลือกเส้นทางชีวิตในการแมทช์ได้มากกว่า 1 เส้นทางเสมอ เรารู้อยู่แล้วว่าเราจะต้องใส่ C และ/หรือ L โดยต่อแบบอนุกรมและ/หรือขนาน เข้ากับกับโหลด เพื่อเปลี่ยนจุด Г ให้ "ไต่" ไปตามเส้นวงกลม r คงที่และ/หรือ g คงที่ ("เท่านั้น" คือไปทางอื่นไม่ได้)  โดยเล็งไว้ว่าสุดท้ายแล้วจะต้องไปอยู่ที่จุดศูนย์กลางของสมิทชาร์ท (ที่ซึ่ง Г=0) อย่างในตัวอย่างนี้เราสามารถเลือกเส้นทาง  ① → ②→ ③ หรือ  ①→ ②→ ④→ ③ ก็ได้ โดยสุดท้ายก็จะได้ผลเช่นเดียวกัน

สมมติว่าเราเลือกเส้นทาง ① → ②→ ③ 

• จะเห็นว่า จุด ① บน z-plane (เส้นชุดสีแดง) คือ z = 0.4 + j 0.8 อ่านค่าบนชาร์ท y-plane (เส้นชุดสีน้ำเงิน) ได้ y = 0.5 - j 1.0
• เราสามารถเลื่อนมายังจุด ② y = 0.5 - j 0.5 โดยเลื่อนมาตามเส้น g = 0.5 คงที่ ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา นั่นคือต้องใส่ตัวเก็บประจุ C ขนานเข้าไปเป็นขั้นตอนแรก
• ขนาดของตัวเก็บประจุที่ต้องใช้ คำนวณได้จากการเปลี่ยนแปลงของ b คือจาก - j 1.0 ไปเป็น - j 0.5 คือ + j 0.5 (ค่า normalized) หรือ + j 0.5 ∙ Y₀ = + j 0.01 Ʊ  
• จากซัสเซ็ปแตนซ์ของตัวเก็บประจุ B = ωC = 0.01 ก็จะสามารถคำนวณค่าของ C ได้เมื่อรู้ความถี่ (ω = 2πf) สมมติได้เป็น C₁  (ประมาณ 10.9pF ที่ความถี่ 145 MHz)
• เมื่อต่อตัวเก็บประจุ C₁ ขนานกับโหลดแล้ว ค่าอิมพิแดนซ์, Г, แอตมิตแตนซ์ ทั้งหมดจะมาอยู่ที่เดียวกันคือที่จุด ② 
• จากนั้นเราก็แมทช์ต่อ โดยเสื่อนจากจุด ② ไปยังจุด ③  ซึ่งจะเห็นว่าเป็นการเลื่อนในทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกาบนเส้นวงกลม r คงที่
• จุด ②  อ่านได้ z = 1.0 + j 1.0 และจุด ③ อ่านได้  z = 1.0 + j 0.0 นั่นคือมีการเปลี่ยนแปลงของ normalized reactance เป็น - j 1.0 หรือดูจากเส้นทางจะเห็นว่าเป็นการเลื่อนตามเส้น r คงที่ทวนเข็มนาฬิกา ก็ต้องใส่ตัวเก็บประจุอนุกรมเข้าไป เป็นขั้นตอนที่สอง
• คำนวณค่าของตัวเก็บประจุที่ต้องใช้ในขั้นตอนที่สอง จากความเปลี่ยนแปลงของ x คือ - j 1.0 นั่นคือ - j 50Ω = - j / ωC  ซึ่งเมื่อรู้ความถี่ก็จะสามารถคำนวณค่าตัวเก็บประจุ (สมมติว่าเป็น C₂) ได้  (21.9pF ที่ความถี่ 145 MHz)
• ดูรูปที่ 6 เป็นวงจรแมทช์สำหรับเส้นทาง ① → ②→ ③ นี้ 

รูปที่ 6 แสดงการใส่ตัวเก็บประจุเพื่อแมทช์
อิมพิแดนซ์ให้เป็น 50Ω ด้วย 2 ขั้นตอน

แล้วถ้าเลือกเส้นทางชีวิตในแนว ①→ ②→ ④→ ③ ล่ะ ก็ไม่ยากเลย ดังนี้

• จุดที่ ① คือ y = 0.5 - j 1.0
• ขั้นตอนแรก เลื่อนตามเส้น g = 0.5 ทิศทางตามเข็มนาฬิกาเหมือนเดิม ต้องใส่ C ขนานเข้าไปเหมือนเดิม แต่คราวนี้ต้องวิ่งเลยลงมาที่จุด ④  ซึ่งคือ y = 0.5 + j 0.5
• ส่วนเปลียนแปลงของ b ในการเลื่อนจากจุดที่ ① มายังจุดที่ ④ คือ + j 1.5 หรือคือ Y = + j 1.5(0.02) = + j 0.03Ʊ 
• ซัสเซ็ปแตนซ์ของตัวเก็บประจุ  b = 0.03 = ωC   สามารถคำนวณ C ได้ (สมมติเป็น C₃ และเป็น 32.9pF ที่ความถี่ 145MHz)
• ที่จุด ④  ค่า z = 1 - j 1.0 (เราไม่ต้องการ - j 1.0 ซึ่งคือ capacitance ส่วนเกิน บน z-plane)
• จากจุด ④  เลื่อนไปยังจุด ③  แต่คราวนี้จะเห็นว่าเป็นการเลื่อนบนเส้น r คงที่ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา คือการเพิ่ม - j 1.0 ไปเป็น + j 0.0 ดังนั้นต้องต่อตัวเหนี่ยวนำ L อนุกรมเข้าไป
• คำนวณค่า L ที่ต้องใช้ จากการเพิ่ม + j 1.0 หรือคือ Z₀ (+j1.0) = +j50Ω , 50 = ωL , จะคำนวนได้ L = 54.8 nH
• จะได้วงจรออกมาในรูปที่ 7

รูปที่ 7 แสดงการแมทช์โหลดเดียวกันแต่ใช้คนละแนวทาง
โดยการขนานด้วยตัวเก็บประจุก่อนแล้วจึงต่ออนุกรม
ด้วยตัวเหนี่ยวนำ   อย่างไรก็ตามก็จะได้ค่า
อิมพิแดนซ์สุดท้ายเเป็น 50Ω เช่นกัน

เป็นอย่างไรบ้างครับเพื่อนๆ คิดว่าคงไม่ยากเกินกว่าจะทำความเข้าใจได้ บางครั้งถ้าอ่านเพียงรอบเดียวอาจจะไม่สามารถเข้าใจได้ทันที ก็อ่านหลายรอบค่อยๆ ซึมไปเดี๋ยวก็จะดีขึ้นได้ หรือหากมีปัญหาก็สอบถามผู้เขียนหรือผู้รู้อื่น ก็จะเป็นประโยชน์มาก นอกจากนี้สมิทชาร์ทยังสามารถใช้คำนวณร่วมกับการแมทช์ชนิดอื่นเช่น สตับแมทชิ่งต่างๆ ได้อีก ไว้ถ้ามีเวลาในโอกาสหน้าผมจะเขียนเล่าให้ฟังกันต่อ สำหรับคราวนี้ต้องสวัสดีก่อนครับ QRU 73 de HS0DJU/KG5BEJ (จิตรยุทธ จุณณะภาต)